x=theta+w,其中x,theta,w都是2x1随机矢量,已知theta和w的协方差,x的协方差矩阵怎么写
时间: 2024-05-19 11:14:15 浏览: 13
根据矩阵的乘法规则,有:
x = theta w
可以将其展开为:
x1 = theta1 w1 + theta2 w2
x2 = theta1 w1 + theta2 w2
其中,x1和x2分别表示x矢量的两个分量,theta1和theta2分别表示theta矢量的两个分量,w1和w2分别表示w矢量的两个分量。
根据协方差矩阵的定义,有:
Cov(x) = E[(x - E[x])(x - E[x])^T]
其中,E[x]表示x的期望,^T表示转置。
由于x是一个随机矢量,其期望可以表示为:
E[x] = E[theta w] = E[theta] E[w]
其中,E[theta]和E[w]分别表示theta和w的期望。
由于theta和w都是2x1的矢量,其协方差矩阵可以表示为:
Cov(theta) = [Cov(theta1, theta1) Cov(theta1, theta2); Cov(theta2, theta1) Cov(theta2, theta2)]
Cov(w) = [Cov(w1, w1) Cov(w1, w2); Cov(w2, w1) Cov(w2, w2)]
根据矩阵的乘法规则,有:
Cov(x) = Cov(theta w) = theta Cov(w) theta^T
其中,^T表示转置。
将Cov(w)和theta带入上式,有:
Cov(x) = [Cov(theta1, theta1) Cov(theta1, theta2); Cov(theta2, theta1) Cov(theta2, theta2)] [Cov(w1, w1) Cov(w1, w2); Cov(w2, w1) Cov(w2, w2)] [Cov(theta1, theta1) Cov(theta2, theta1); Cov(theta1, theta2) Cov(theta2, theta2)]
简化后,有:
Cov(x) = [Cov(theta1, theta1) Cov(theta1, theta2)] [Cov(w1, w1) Cov(w1, w2); Cov(w2, w1) Cov(w2, w2)] [Cov(theta1, theta1) Cov(theta2, theta1); Cov(theta1, theta2) Cov(theta2, theta2)] + [Cov(theta2, theta1) Cov(theta2, theta2)] [Cov(w1, w1) Cov(w1, w2); Cov(w2, w1) Cov(w2, w2)] [Cov(theta1, theta1) Cov(theta2, theta1); Cov(theta1, theta2) Cov(theta2, theta2)]
其中,[]表示矩阵的乘法。
因此,x的协方差矩阵可以表示为上式。
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