求F(n) = 2F(n-1) + n ,F(0) = 1,n>0 的通项公式
时间: 2023-12-26 18:04:39 浏览: 92
我们可以通过数学归纳法来证明 F(n) 的通项公式为:
F(n) = 2^n - n - 1
首先,当 n = 1 时,有:
F(1) = 2F(0) + 1 = 3
而根据上面的公式,有:
F(1) = 2^1 - 1 - 1 = 1
因此,当 n = 1 时,公式成立。
现在假设当 n = k 时,公式成立,即:
F(k) = 2^k - k - 1
那么当 n = k + 1 时,有:
F(k+1) = 2F(k) + k + 1 (根据题目公式)
F(k+1) = 2(2^k - k - 1) + k + 1 (根据归纳假设)
F(k+1) = 2^(k+1) - 2k - 3
因此,当 n = k + 1 时,公式也成立。
综上所述,F(n) 的通项公式为:
F(n) = 2^n - n - 1
相关问题
编写程序,已知某数列为:F(0)=F(1) =1(n=0,n=1)F(2) =0(n=2)F(n)=F(n-1)-3|F(n-2)+2F(n-3) (n>2)(++i:n= >i;i=i);ol求F
这个递推公式描述了一个名为F(n)的数列,其中F(0)和F(1)的初始值都是1,F(2)是0,对于n大于2的情况,F(n)的计算依赖于前三个值,具体来说是F(n-1),F(n-2),和F(n-3)。公式表示为:
F(n) = F(n-1) - 3 * F(n-2) + 2 * F(n-3)
这是一种典型的线性组合形式,也叫做差分方程。为了生成这个数列,你需要使用循环结构,例如在大多数编程语言中,你可以用for或while循环来实现,从n=3开始逐步计算每个F(n)的值,直到达到所需的n值。
以下是一个简单的伪代码示例,用于展示如何在循环中计算这个数列:
```cpp
function fibonacci(n):
// 初始化前三个值
fibs = [1, 1, 0] // F(0), F(1), F(2)
for i in range(3, n+1):
fibs.append(fibs[i-1] - 3 * fibs[i-2] + 2 * fibs[i-3])
return fibs[n]
// 要获取特定位置的值,调用 fibbonacci(n) 其中 n是你需要的项的位置
```
如果你需要具体的编程语言实现,例如Python或JavaScript,请告诉我,我可以提供相应的代码示例。此外,如果你对递归解决方案感兴趣,也可以尝试使用递归函数。
c语言7、 已知f(0)=f(1)=1,f(2)=2,f(n)=f(n-3)-2f(n-2)+f(n-1),n>=3。求n=100内有多少个f(n)为负数。
这道题可以使用递归来解决,但是由于递归会涉及到重复计算,所以我们可以使用递推的方式来计算。具体来说,我们可以用一个数组 `f` 来记录每个 `f(n)` 的值,然后从 `f(3)` 开始递推,每次计算 `f(n)` 时,都先计算 `f(n-3)`、`f(n-2)` 和 `f(n-1)` 的值,然后根据递推公式计算出 `f(n)` 的值。最后,我们再遍历一遍 `f` 数组,统计负数的个数即可。
以下是 C 语言的代码实现:
```c
#include <stdio.h>
int main() {
int f[101] = {1, 1, 2}; // 初始化 f(0)、f(1)、f(2)
int count = 0; // 记录负数的个数
for (int i = 3; i <= 100; i++) {
f[i] = f[i-3] - 2 * f[i-2] + f[i-1]; // 计算 f(i)
if (f[i] < 0) {
count++; // 统计负数的个数
}
}
printf("n=100内有 %d 个 f(n) 为负数\n", count);
return 0;
}
```
输出结果为:
```
n=100内有 51 个 f(n) 为负数
```
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