sinx的立方加cosx的立方的倒数的积分

这是一道比较复杂的积分题目，需要进行一些变形和换元才能求解。首先，我们可以将sinx的立方加cosx的立方展开，得到：

sin^3(x) + cos^3(x) = (sin(x) + cos(x))(sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x))

然后，我们将sin(x) + cos(x)作为新的变量t，进行换元，即：

t = sin(x) + cos(x)

dt/dx = cos(x) - sin(x)

那么，我们可以将sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x)用t表示，即：

sin^2(x) - sin(x)cos(x) + cos^2(x) = t^2 - 2t + 2

因此，原式可以变为：

∫[sin(x), cos(x)] (sin^3(x) + cos^3(x))/(sin^3(x) + cos^3(x)) dx
= ∫[sin(x)+cos(x)] (t^2-2t+2)/(t^3-3t+2) dt
= ∫[sin(x)+cos(x)] [(t-1)^2+1]/[(t-1)(t-2)(t+1)] dt

接下来，我们可以进行部分分式分解，得到：

[(t-1)^2+1]/[(t-1)(t-2)(t+1)] = A/(t-1) + B/(t-2) + C/(t+1)

其中，A、B、C是待定系数。将上式两边通分，得到：

(t-1)^2+1 = A(t-2)(t+1) + B(t-1)(t+1) + C(t-1)(t-2)

令t=1，可以消去A和B，得到：

2 = 2C

因此，C=1。将C代入上式，得到：

(t-1)^2+1 = A(t-2)(t+1) + B(t-1)(t+1) + (t-1)(t-2)

化简后，得到：

(t-1)^2+1 = (A+B)(t^2-t-2) + (3-A)t + 2A

比较系数，得到：

A+B = 1
3-A = 0
2A = 1

解得：

A = 1/2，B = 1/2，C = 1

因此，原式可以变为：

∫[sin(x)+cos(x)] (1/2)/(t-1) + (1/2)/(t-2) + 1/(t+1) dt

接下来，我们可以分别对每个部分进行积分，得到：

∫[sin(x)+cos(x)] (1/2)/(t-1) + (1/2)/(t-2) + 1/(t+1) dt
= (1/2)ln|t-1| + (1/2)ln|t-2| + ln|t+1| + C
= (1/2)ln|sin(x)+cos(x)-1| + (1/2)ln|sin(x)+cos(x)-2| + ln|sin(x)+cos(x)+1| + C'

其中，C'为常数。这就是原式的解。