设图G是连通的简单平面图，顶点数n = 6，且所有顶点的度数之和是24，则图G有几个面，且其中外部面的度数是多少

根据欧拉公式，对于连通的简单平面图，有V-E+F=2，其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。因为图G是简单平面图，所以每个面都是由至少3条边组成的简单多边形。

由于图G是简单平面图，每条边只属于两个面，因此2E = 3F。又因为所有顶点的度数之和是24，所以2E = 24，即E = 12。因此，有V-E+F=2，即6-12+F=2，解得F=8。

由于图G有8个面，其中外部面一定是一个有限面，因为如果外部面是无限大面，则图G不是连通的简单平面图。由于外部面是一个有限面，所以它一定由至少3条边组成的简单多边形围成。设外部面的度数为d，则每条边被计算了两次，所以有2E = nd，即2*12 = 6d，因此d=4，即外部面的度数为4。

相关问题

设G是2n阶无向简单图，且G的每个顶点至少与另外n个顶点相邻，证明G是连通图

首先，我们可以使用反证法来证明这个命题。假设G不是连通图，那么G可以被分为两个或更多个不相交的连通分量。假设这两个连通分量的大小分别为a和b，则n ≤ a, b ≤ 2n − n = n。因为每个顶点至少与另外n个顶点相邻，所以G中至少有a × n 条边和b × n 条边。因此，G中总共至少有an + bn 条边。

然而，G是2n阶无向简单图，所以它最多有n × (2n − 1) 条边。由于an + bn ≥ n × 2n，所以an + bn > n × (2n − 1)。这与G最多有n × (2n − 1) 条边矛盾。因此，假设不成立，即G是连通图。

因此，我们证明了G是连通图。

n（n=4）个顶点具有最少边数的无向连通图和有向强连通图是怎样的？

对于无向连通图，当n=4时，最少边数为3，可以构造一个三角形。具体来说，我们可以构造一个由三条互相连接的边组成的三角形，这样可以保证这个图是连通的，同时边的数量最少。

对于有向强连通图，当n=4时，最少边数为4，可以构造一个由4条边组成的环。具体来说，我们可以构造一个由4个顶点组成的环，然后每个顶点向下一个顶点连一条有向边，这样可以保证这个图是有向强连通的，同时边的数量最少。