单向TSP。 给一个m行n列（m<=10,n<=100）的整数矩阵，从第一列 任何一个位置出发每次往右，右上或右下走一个，最终到达最后一列，要求经过的整数之和最小整个矩阵是环形的，即第一行的上一行是最后一行，最后一行的下一行是第一行，输出路径上每列的行号，多解释输出字典序最小的。 输入： 第一行为两个整数M和N，分别表示矩阵的行数和列数。 接下来的M行，每行N个正整数，其中第i行第j列的整数表示矩阵的第i行第j列的元素。 输出：第一行为最小权和的路径，第二行为该路径的权和。路径由N个整数组成（相邻整数间用一个空格分开），表示路径经过的行号。如果权和最小的路径不止一条，输出字典序最小的一条。写出c++代码

此题可以使用动态规划求解，我们定义dp[i][j]表示从第i行第j列出发到达最后一列的最小权和路径，那么转移方程如下：

dp[i][j] = min(dp[i-1][(j-1+n)%n], dp[i][(j-1+n)%n], dp[i+1][(j-1+n)%n]) + matrix[i][j];

其中n为列数，%n是为了实现环形。

最后路径的输出可以使用回溯法。

下面是C++代码：

相关问题

9.单向TSP。 给一个m行n列（m<=10,n<=100）的整数矩阵，从第一列 任何一个位置出发每次往右，右上或右下走一个，最终到达最后一列，要求经过的整数之和最小整个矩阵是环形的，即第一行的上一行是最后一行，最后一行的下一行是第一行，输出路径上每列的行号，多解释输出字典序最小的。 输入： 第一行为两个整数M和N，分别表示矩阵的行数和列数。 接下来的M行，每行N个正整数，其中第i行第j列的整数表示矩阵的第i行第j列的元素。 输出：第一行为最小权和的路径，第二行为该路径的权和。路径由N个整数组成（相邻整数间用一个空格分开），表示路径经过的行号。如果权和最小的路径不止一条，输出字典序最小的一条。

解题思路：
此题可以转化为一个单向TSP问题，可以使用动态规划来解决。设f(i,j)表示从第i列第j行出发到达最后一列的最小权和路径长度，那么最终答案就是min{f(i,1)}，其中1<=i<=m。由于是环形，因此需要特别处理第一列和最后一列的情况。

具体的转移方程如下：
f(i,j)=min{f(i+1,j-1),f(i+1,j),f(i+1,j+1)}+a[i][j]，其中a[i][j]表示第i行第j列的元素。

同时，需要额外记录一个g(i,j)=min{f(i,k)}，表示从第i列第j行出发到达最后一列的最小权和路径长度，并且路径上必须经过第k列，其中1<=k<=n。这样可以在输出路径时保证字典序最小。

代码实现如下：

单向TSP。 给一个m行n列（m<=10,n<=100）的整数矩阵，从第一列 任何一个位置出发每次往右，右上或右下走一个，最终到达最后一列，要求经过的整数之和最小整个矩阵是环形的，即第一行的上一行是最后一行，最后一行的下一行是第一行，输出路径上每列的行号，多解释输出字典序最小的。 输入： 第一行为两个整数M和N，分别表示矩阵的行数和列数。 接下来的M行，每行N个正整数，其中第i行第j列的整数表示矩阵的第i行第j列的元素。 输出：第一行为最小权和的路径，第二行为该路径的权和。路径由N个整数组成（相邻整数间用一个空格分开），表示路径经过的行号。如果权和最小的路径不止一条，输出字典序最小的一条。写出c++代码

以下是C++代码，使用了动态规划的思想，时间复杂度为O(m*n^2)：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 12;
const int MAXM = 102;

int m, n, a[MAXN][MAXM], dp[MAXN][MAXM][3], pre[MAXN][MAXM][3];

void output(int i, int j) {
    if (j == n) {
        cout << i << endl;
        return;
    }
    int k = pre[i][j][1];
    output(k, j+1);
    cout << i << " ";
}

int main() {
    cin >> m >> n;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        for (int j = 1; j <= n; j++) {
            cin >> a[i][j];
        }
    }
    int inf = 1e9;
    memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        dp[i][1][1] = dp[i][1][0] = a[i][1];
    }
    for (int j = 2; j <= n; j++) {
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            for (int k = -1; k <= 1; k++) {
                int ii = (i+k+m-1)%m+1;
                if (dp[i][j][0] > dp[ii][j-1][0]+a[i][j]) {
                    dp[i][j][0] = dp[ii][j-1][0]+a[i][j];
                    pre[i][j][0] = ii;
                } else if (dp[i][j][0] == dp[ii][j-1][0]+a[i][j]) {
                    pre[i][j][0] = min(pre[i][j][0], ii);
                }
                if (dp[i][j][1] > dp[ii][j-1][1]+a[i][j]) {
                    dp[i][j][1] = dp[ii][j-1][1]+a[i][j];
                    pre[i][j][1] = ii;
                } else if (dp[i][j][1] == dp[ii][j-1][1]+a[i][j]) {
                    pre[i][j][1] = min(pre[i][j][1], ii);
                }
                if (dp[i][j][2] > dp[ii][j-1][2]+a[i][j]) {
                    dp[i][j][2] = dp[ii][j-1][2]+a[i][j];
                    pre[i][j][2] = ii;
                } else if (dp[i][j][2] == dp[ii][j-1][2]+a[i][j]) {
                    pre[i][j][2] = min(pre[i][j][2], ii);
                }
            }
        }
    }
    int ans = inf, st = 0;
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        if (dp[i][n][0] < ans) {
            ans = dp[i][n][0];
            st = i;
        } else if (dp[i][n][0] == ans) {
            st = min(st, i);
        }
        if (dp[i][n][1] < ans) {
            ans = dp[i][n][1];
            st = i;
        } else if (dp[i][n][1] == ans) {
            st = min(st, i);
        }
        if (dp[i][n][2] < ans) {
            ans = dp[i][n][2];
            st = i;
        } else if (dp[i][n][2] == ans) {
            st = min(st, i);
        }
    }
    output(st, 1);
    cout << endl << ans << endl;
    return 0;
}