给一个n(1 ≤ n ≤ 2500) 个点 m(1 ≤ m ≤ 6200) 条边的无向图，求 s 到 t 的最短路。 输入格式: 第一行四个由空格隔开的整数 n、m、s、t。 之后的 m 行，每行三个正整数 s i ​ 、t i ​ 、w i ​ (1≤w i ​ ≤10 9 )，表示一条从s i ​ 到 t i ​ 长度为 w i ​ 的边。 输出格式: 一个整数，表示从s 到t 的最短路径长度。数据保证至少存在一条道路。 输入样例: 7 11 5 4 2 4 2 1 4 3 7 2 2 3 4 3 5 7 5 7 3 3 6 1 1 6 3 4 2 4 3 5 6 3 7 2 1 输出样例: 7 注意: 两个顶点之间可能存在多条直接相连的道路。

这是一个经典的最短路径问题，可以使用 Dijkstra 算法或者 Bellman-Ford 算法解决。这里我们介绍 Dijkstra 算法的思路。

Dijkstra 算法是基于贪心策略的最短路径算法，它的基本思想是从起点开始，每次选择当前距离起点最近的一个未被处理的节点，然后以该节点为中心进行扩展，更新与它相邻的节点的距离。具体实现可以用一个小根堆（优先队列）来保存当前距离起点最近的未被处理的节点。

下面是 Dijkstra 算法的伪代码：

1. 初始化：将起点加入小根堆中，并将距离起点的距离设为 0。
2. 取出小根堆中距离起点最近的节点，标记为已处理。
3. 遍历该节点的邻居节点，更新它们到起点的距离（如果比之前的距离更小），并将它们加入小根堆。
4. 重复步骤 2 和 3，直到小根堆为空或者目标节点被处理。

下面是使用 Python 实现 Dijkstra 算法的代码：

相关问题

给一个n(1 ≤ n ≤ 2500) 个点 m(1 ≤ m ≤ 6200) 条边的无向图，求 s 到 t 的最短路。

### 回答1：
题目描述：

给定一个包含n个点和m条边的无向图，求从s到t的最短路径。

解题思路：

可以使用Dijkstra算法或者BFS算法来解决这个问题。

Dijkstra算法：

Dijkstra算法是一种贪心算法，它可以求出从一个源点到其他所有点的最短路径。Dijkstra算法的基本思想是：从源点开始，每次选择一个距离源点最近的未标记节点，并将该节点标记为已访问，然后更新与该节点相邻的节点的距离。重复这个过程，直到所有节点都被标记为已访问或者没有未标记的节点可以到达。

BFS算法：

BFS算法是一种广度优先搜索算法，它可以求出从一个源点到其他所有点的最短路径。BFS算法的基本思想是：从源点开始，将其加入队列中，然后依次取出队列中的节点，并将与该节点相邻的未访问节点加入队列中。重复这个过程，直到队列为空或者找到目标节点。

代码实现：

Dijkstra算法：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 2505;
const int INF = x3f3f3f3f;

struct Edge {
    int to, w;
};

vector<Edge> G[MAXN];
int d[MAXN];
bool vis[MAXN];

void dijkstra(int s) {
    memset(d, INF, sizeof(d));
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    d[s] = ;
    priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> q;
    q.push(make_pair(, s));
    while (!q.empty()) {
        int u = q.top().second;
        q.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = true;
        for (int i = ; i < G[u].size(); i++) {
            int v = G[u][i].to;
            int w = G[u][i].w;
            if (d[v] > d[u] + w) {
                d[v] = d[u] + w;
                q.push(make_pair(d[v], v));
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n, m, s, t;
    cin >> n >> m >> s >> t;
    for (int i = ; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        G[u].push_back((Edge){v, w});
        G[v].push_back((Edge){u, w});
    }
    dijkstra(s);
    cout << d[t] << endl;
    return ;
}

BFS算法：

#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN = 2505;
const int INF = x3f3f3f3f;

struct Edge {
    int to, w;
};

vector<Edge> G[MAXN];
int d[MAXN];
bool vis[MAXN];

void bfs(int s) {
    memset(d, INF, sizeof(d));
    memset(vis, false, sizeof(vis));
    d[s] = ;
    queue<int> q;
    q.push(s);
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front();
        q.pop();
        if (vis[u]) continue;
        vis[u] = true;
        for (int i = ; i < G[u].size(); i++) {
            int v = G[u][i].to;
            int w = G[u][i].w;
            if (d[v] > d[u] + w) {
                d[v] = d[u] + w;
                q.push(v);
            }
        }
    }
}

int main() {
    int n, m, s, t;
    cin >> n >> m >> s >> t;
    for (int i = ; i < m; i++) {
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        G[u].push_back((Edge){v, w});
        G[v].push_back((Edge){u, w});
    }
    bfs(s);
    cout << d[t] << endl;
    return ;
}

### 回答2：
这是经典的最短路问题，可以使用Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd算法等多种算法来解决。

Dijkstra算法是一种贪心算法，适用于没有负权边的图。它从起点开始，每次找到距离起点最近的未访问节点，将它加入已访问集合，并更新其它未访问节点的距离。实现过程可以使用堆优化的优化算法来提高效率。

Bellman-Ford算法可以处理含有负权边的图，但是可能会存在负环，需要进行判断。它通过进行多轮松弛操作来逐步逼近最短路径。可以使用队列优化来优化效率。

Floyd算法是一种动态规划算法，可以求解所有点对之间的最短路径。它通过考虑中间点的方式逐渐逼近最短路径。实现过程是一个三重循环，时间复杂度为O(n^3)，适用于数据较小的情况。

需要注意的是，在实际应用中，还可以利用图的性质进行特殊优化，如将有向无环图进行拓扑排序后使用DAG最短路算法，或者利用稀疏图的性质进行优化等。同时，如果需要多次查询最短路径，可以使用预处理算法进行优化，如建立点对之间的最短路径矩阵等。

总之，在实际应用中，需要综合考虑算法的时间复杂度、可靠性、适用性等方面进行选择。

### 回答3：
对于一个n个点m条边的无向图，我们可以采用迪杰斯特拉算法来求解s到t的最短路。具体方法如下：

1. 初始化：将各个点到起点s的距离标记为无穷大，将起点s到自己的距离置为0，将这些点标记为未访问状态。

2. 执行从各个点到起点s的距离中最小的点，将该点标记为已访问状态。

3. 迭代更新：对于从s点出发连通且未被标记的点v，如果经过已访问且未被标记的点u到达v比已标记点的距离更短，则更新从s到v的最短距离，并将该点标记为未访问。

4. 重复2-3步骤，直到所有点都被标记为已访问状态，或者找到了终点t。

5. 如果在上述过程中找到了s到t的最短路，则返回路径；否则，说明不存在s到t的路径。

在实际应用中，我们可以使用堆优化的方式来实现迪杰斯特拉算法，减小时间复杂度。具体而言，我们可以维护一个小根堆，每次在未访问的点中选择最小距离的点，并将其标记为已访问状态。同时，更新距离时，如果该点的新距离小于原先的距离，则将该点的信息加入堆中，以供下次迭代使用。这样，我们可以在O(mlogn)的时间复杂度内求解s到t的最短路。

给一个n(1≤n≤2500)个点m(1≤m≤6200)条边的无向图，求s到t的最短路。用java做

以下是Java代码实现，使用了Dijkstra算法：

import java.util.*;

public class ShortestPath {
static class Edge {
int to;
int weight;
Edge(int to, int weight) {
this.to = to;
this.weight = weight;
}
}

static int INF = Integer.MAX_VALUE / 2; // 无穷大

public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt(); // 点的数量
int m = scanner.nextInt(); // 边的数量
List<List<Edge>> graph = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < n; i++) {
graph.add(new ArrayList<>());
}
for (int i = 0; i < m; i++) {
int from = scanner.nextInt() - 1; // 编号从0开始
int to = scanner.nextInt() - 1;
int weight = scanner.nextInt();
graph.get(from).add(new Edge(to, weight));
graph.get(to).add(new Edge(from, weight)); // 无向图
}
int s = scanner.nextInt() - 1; // 起点
int t = scanner.nextInt() - 1; // 终点
int[] dist = new int[n]; // 存储最短路
Arrays.fill(dist, INF); // 初始化为无穷大
dist[s] = 0; // 起点到自身的距离为0
boolean[] visited = new boolean[n]; // 标记是否访问过
PriorityQueue<Integer> pq = new PriorityQueue<>(Comparator.comparingInt(i -> dist[i])); // 优先队列，按照距离从小到大排序
pq.offer(s);
while (!pq.isEmpty()) {
int u = pq.poll();
if (visited[u]) {
continue; // 如果已经访问过，跳过
}
visited[u] = true;
for (Edge e : graph.get(u)) {
int v = e.to;
int weight = e.weight;
if (dist[u] + weight < dist[v]) {
dist[v] = dist[u] + weight;
pq.offer(v);
}
}
}
System.out.println(dist[t] == INF ? -1 : dist[t]); // 如果无法到达终点，输出-1
}
}