给一个n(1 ≤ n ≤ 2500) 个点 m(1 ≤ m ≤ 6200) 条边的无向图,求 s 到 t 的最短路。 输入格式: 第一行四个由空格隔开的整数 n、m、s、t。 之后的 m 行,每行三个正整数 s i 、t i 、w i (1≤w i ≤10 9 ),表示一条从s i 到 t i 长度为 w i 的边。 输出格式: 一个整数,表示从s 到t 的最短路径长度。数据保证至少存在一条道路。 输入样例: 7 11 5 4 2 4 2 1 4 3 7 2 2 3 4 3 5 7 5 7 3 3 6 1 1 6 3 4 2 4 3 5 6 3 7 2 1 输出样例: 7 注意: 两个顶点之间可能存在多条直接相连的道路。
时间: 2024-01-04 18:03:32 浏览: 37
这是一个经典的最短路径问题,可以使用 Dijkstra 算法或者 Bellman-Ford 算法解决。这里我们介绍 Dijkstra 算法的思路。
Dijkstra 算法是基于贪心策略的最短路径算法,它的基本思想是从起点开始,每次选择当前距离起点最近的一个未被处理的节点,然后以该节点为中心进行扩展,更新与它相邻的节点的距离。具体实现可以用一个小根堆(优先队列)来保存当前距离起点最近的未被处理的节点。
下面是 Dijkstra 算法的伪代码:
1. 初始化:将起点加入小根堆中,并将距离起点的距离设为 0。
2. 取出小根堆中距离起点最近的节点,标记为已处理。
3. 遍历该节点的邻居节点,更新它们到起点的距离(如果比之前的距离更小),并将它们加入小根堆。
4. 重复步骤 2 和 3,直到小根堆为空或者目标节点被处理。
下面是使用 Python 实现 Dijkstra 算法的代码:
相关问题
给一个n(1 ≤ n ≤ 2500) 个点 m(1 ≤ m ≤ 6200) 条边的无向图,求 s 到 t 的最短路。
### 回答1:
题目描述:
给定一个包含n个点和m条边的无向图,求从s到t的最短路径。
解题思路:
可以使用Dijkstra算法或者BFS算法来解决这个问题。
Dijkstra算法:
Dijkstra算法是一种贪心算法,它可以求出从一个源点到其他所有点的最短路径。Dijkstra算法的基本思想是:从源点开始,每次选择一个距离源点最近的未标记节点,并将该节点标记为已访问,然后更新与该节点相邻的节点的距离。重复这个过程,直到所有节点都被标记为已访问或者没有未标记的节点可以到达。
BFS算法:
BFS算法是一种广度优先搜索算法,它可以求出从一个源点到其他所有点的最短路径。BFS算法的基本思想是:从源点开始,将其加入队列中,然后依次取出队列中的节点,并将与该节点相邻的未访问节点加入队列中。重复这个过程,直到队列为空或者找到目标节点。
代码实现:
Dijkstra算法:
```
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 2505;
const int INF = x3f3f3f3f;
struct Edge {
int to, w;
};
vector<Edge> G[MAXN];
int d[MAXN];
bool vis[MAXN];
void dijkstra(int s) {
memset(d, INF, sizeof(d));
memset(vis, false, sizeof(vis));
d[s] = ;
priority_queue<pair<int, int>, vector<pair<int, int>>, greater<pair<int, int>>> q;
q.push(make_pair(, s));
while (!q.empty()) {
int u = q.top().second;
q.pop();
if (vis[u]) continue;
vis[u] = true;
for (int i = ; i < G[u].size(); i++) {
int v = G[u][i].to;
int w = G[u][i].w;
if (d[v] > d[u] + w) {
d[v] = d[u] + w;
q.push(make_pair(d[v], v));
}
}
}
}
int main() {
int n, m, s, t;
cin >> n >> m >> s >> t;
for (int i = ; i < m; i++) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
G[u].push_back((Edge){v, w});
G[v].push_back((Edge){u, w});
}
dijkstra(s);
cout << d[t] << endl;
return ;
}
```
BFS算法:
```
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
using namespace std;
const int MAXN = 2505;
const int INF = x3f3f3f3f;
struct Edge {
int to, w;
};
vector<Edge> G[MAXN];
int d[MAXN];
bool vis[MAXN];
void bfs(int s) {
memset(d, INF, sizeof(d));
memset(vis, false, sizeof(vis));
d[s] = ;
queue<int> q;
q.push(s);
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
if (vis[u]) continue;
vis[u] = true;
for (int i = ; i < G[u].size(); i++) {
int v = G[u][i].to;
int w = G[u][i].w;
if (d[v] > d[u] + w) {
d[v] = d[u] + w;
q.push(v);
}
}
}
}
int main() {
int n, m, s, t;
cin >> n >> m >> s >> t;
for (int i = ; i < m; i++) {
int u, v, w;
cin >> u >> v >> w;
G[u].push_back((Edge){v, w});
G[v].push_back((Edge){u, w});
}
bfs(s);
cout << d[t] << endl;
return ;
}
```
### 回答2:
这是经典的最短路问题,可以使用Dijkstra算法、Bellman-Ford算法、Floyd算法等多种算法来解决。
Dijkstra算法是一种贪心算法,适用于没有负权边的图。它从起点开始,每次找到距离起点最近的未访问节点,将它加入已访问集合,并更新其它未访问节点的距离。实现过程可以使用堆优化的优化算法来提高效率。
Bellman-Ford算法可以处理含有负权边的图,但是可能会存在负环,需要进行判断。它通过进行多轮松弛操作来逐步逼近最短路径。可以使用队列优化来优化效率。
Floyd算法是一种动态规划算法,可以求解所有点对之间的最短路径。它通过考虑中间点的方式逐渐逼近最短路径。实现过程是一个三重循环,时间复杂度为O(n^3),适用于数据较小的情况。
需要注意的是,在实际应用中,还可以利用图的性质进行特殊优化,如将有向无环图进行拓扑排序后使用DAG最短路算法,或者利用稀疏图的性质进行优化等。同时,如果需要多次查询最短路径,可以使用预处理算法进行优化,如建立点对之间的最短路径矩阵等。
总之,在实际应用中,需要综合考虑算法的时间复杂度、可靠性、适用性等方面进行选择。
### 回答3:
对于一个n个点m条边的无向图,我们可以采用迪杰斯特拉算法来求解s到t的最短路。具体方法如下:
1. 初始化:将各个点到起点s的距离标记为无穷大,将起点s到自己的距离置为0,将这些点标记为未访问状态。
2. 执行从各个点到起点s的距离中最小的点,将该点标记为已访问状态。
3. 迭代更新:对于从s点出发连通且未被标记的点v,如果经过已访问且未被标记的点u到达v比已标记点的距离更短,则更新从s到v的最短距离,并将该点标记为未访问。
4. 重复2-3步骤,直到所有点都被标记为已访问状态,或者找到了终点t。
5. 如果在上述过程中找到了s到t的最短路,则返回路径;否则,说明不存在s到t的路径。
在实际应用中,我们可以使用堆优化的方式来实现迪杰斯特拉算法,减小时间复杂度。具体而言,我们可以维护一个小根堆,每次在未访问的点中选择最小距离的点,并将其标记为已访问状态。同时,更新距离时,如果该点的新距离小于原先的距离,则将该点的信息加入堆中,以供下次迭代使用。这样,我们可以在O(mlogn)的时间复杂度内求解s到t的最短路。
有一个n 个点 m 条边的无向图,请求出从 s 到 t 的最短路长度。
这个问题可以使用 Dijkstra 算法或者 Bellman-Ford 算法来解决。
Dijkstra 算法适用于所有边权为正数的情况,时间复杂度为 O(mlogn)。
Bellman-Ford 算法适用于一般情况,包括存在负权边的情况,时间复杂度为 O(nm)。
以下是使用 Dijkstra 算法求解最短路的步骤:
1. 初始化距离数组 dist[],将起点 s 的距离设为 0,其余点的距离设为正无穷。
2. 创建一个优先队列 pq,存储结构为 (dis, u),表示起点到 u 的距离为 dis。
3. 将起点 s 加入队列 pq。
4. 当队列不为空时,取出队首元素 (dis, u)。
5. 如果 u 的距离已经被更新,直接跳过。
6. 更新 u 的距离为 dis。
7. 遍历 u 的所有邻接点 v,如果起点到 v 的距离可以被更新,将 (dis+cost(u, v), v) 加入队列 pq。
8. 重复步骤 4-7,直到队列为空或者 t 被取出。
9. 返回 dist[t],即为起点到 t 的最短路长度。
需要注意的是,如果存在负权边,Dijkstra 算法可能会导致计算结果不正确,此时应该使用 Bellman-Ford 算法。