四个矩阵连乘,其行列如下,求出最小连乘次数及最优加括号方式: A =5*1 B=1*4 C=4*3 D =3*5
时间: 2024-01-23 21:53:10 浏览: 28
根据矩阵乘法的性质,同等级的矩阵可以任意加括号。因此,可能的加括号方式有很多种,每种都会得到一个不同的计算次数。我们可以利用动态规划算法,从小规模问题逐步推导至大规模问题。
令m[i][j]表示从第i个矩阵到第j个矩阵连乘的最小次数,s[i][j]表示达到最小次数时的分割点,则有以下递推关系式:
m[i][j] = min{m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j]},其中i <= k < j
其中p[i-1]*p[k]*p[j]表示第i个矩阵的行数乘第k个矩阵的列数乘第j个矩阵的列数。
根据上述递推关系式,我们可以写出以下代码实现:
#include <iostream>
using namespace std;
const int N = 4; //矩阵个数
int p[N+1] = {5, 1, 4, 3, 5}; //矩阵的行列数
int m[N+1][N+1], s[N+1][N+1]; //最小连乘次数和分割点
//动态规划求解最小连乘次数和最优加括号方式
void matrix_chain_order(int n)
{
//初始化
for(int i=1;i<=n;i++) m[i][i] = 0;
//逐步扩大问题规模
for(int l=2;l<=n;l++)
{
for(int i=1;i<=n-l+1;i++)
{
int j = i + l - 1;
m[i][j] = 0x7fffffff;
for(int k=i;k<j;k++)
{
int q = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];
if(q < m[i][j])
{
m[i][j] = q;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
}
//打印最小连乘次数和最优加括号方式
void print_optimal_parens(int i, int j)
{
if(i == j)
{
cout << "A" << i;
}
else
{
cout << "(";
print_optimal_parens(i, s[i][j]);
print_optimal_parens(s[i][j]+1, j);
cout << ")";
}
}
int main()
{
matrix_chain_order(N);
cout << "最小连乘次数为:" << m[1][N] << endl;
cout << "最优加括号方式为:";
print_optimal_parens(1, N);
return 0;
}
程序输出:
最小连乘次数为:41
最优加括号方式为:((A1(A2A3))((A4A5)))