三棱锥D-ABC，AD垂直于ABC，AD=2，BC=1，∠BAC=30度，求外接球体积

首先，我们可以根据题目描述画出如下的三棱锥图形：

<img src="https://cdn.luogu.com.cn/upload/image_hosting/qc4o5p54.png" width="200px">

可以看出，三棱锥的高为 $AD=2$，底面三角形的面积可以用海龙公式求得：

$$
S_{\triangle ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}=\sqrt{\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}
$$

其中，$s=\frac{1+1+\sqrt{3}/2}{2}=\frac{1+\sqrt{3}}{2}$ 是底面三角形半周长。

因为三棱锥的底面是等边三角形，所以它的外接球体心与底面重合，且该球体心到底面各顶点的距离相等，设该距离为 $R$。又因为三棱锥的高与外接球体心的连线垂直于底面，所以该高与 $R$ 构成直角三角形。因此，我们可以用勾股定理求得 $R$：

$$
R=\sqrt{AD^2+(AB/2)^2}=\sqrt{2^2+(1/2)^2}=\frac{\sqrt{17}}{2}
$$

最后，外接球体积为：

$$
V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi\left(\frac{\sqrt{17}}{2}\right)^3=\frac{17\sqrt{17}}{6}\pi
$$

因此，外接球体积为 $\frac{17\sqrt{17}}{6}\pi$。

相关问题

已知正方形ABCD的边长是a，E，F分别是AD，CD的中点，将正方形沿BE，BF，EF折起，使得A，D，C三点重合于一点，记该点为P，则三棱锥P-BEF的体积是

首先，我们可以观察到三棱锥P-BEF的底面是一个等边三角形，边长为a/2。其高度等于正方形ABCD的边长a。

三棱锥的体积公式为：V = (1/3) * 底面积 * 高度

底面积为等边三角形的面积，使用海伦公式计算：
s = (a/2 + a/2 + a/2) / 2 = 3a/4 （s为等边三角形的半周长）
底面积 = √(s * (s - a/2) * (s - a/2) * (s - a/2)) = √(3 * a * a * a / 16) = √(3a^3 / 16)

代入体积公式：
V = (1/3) * √(3a^3 / 16) * a

计算得到三棱锥P-BEF的体积为V = (√3 / 48) * a^4。

微信小程序开发项目三棱锥体积

三棱锥是一种特殊的几何体，它有一个底面和三个侧面，每个侧面都是一个三角形。要计算三棱锥的体积，可以使用以下公式：

V = (1/3) * A * h

其中，V表示体积，A表示底面的面积，h表示三棱锥的高度。

在微信小程序开发中，如果要实现计算三棱锥体积的功能，可以按照以下步骤进行：

1. 获取用户输入的底面边长和高度。
2. 根据用户输入的底面边长计算底面的面积。如果底面是等边三角形，则可以使用以下公式计算面积：

A = (sqrt(3) / 4) * a^2

其中，a表示底面边长。

3. 使用上述公式计算三棱锥的体积。
4. 将计算得到的体积显示给用户。