使用梯度下降法求函数∫(x)=2e~~sinx在区间(2,7)内的极小值，目标精度 为10-

要使用梯度下降法来寻找函数 \( f(x) = 2e^{sin(x)} \) 在区间 (2, 7) 内的极小值，我们需要进行以下步骤：

1. **定义函数和导数**：首先，我们需要计算函数 \( f(x) \) 的导数，因为梯度下降法依赖于导数来找到最小值的方向。对于给定的函数，导数 \( f'(x) \) 是 \( 2e^{sin(x)} \cdot cos(x) \)。

2. **初始化**：选择一个初始点 \( x_0 \) 在区间 (2, 7)，例如可以选择靠近区间的中间位置。同时设置一个学习率（alpha）和迭代次数。

3. **循环更新**：在一个循环内，重复以下操作：
- 计算当前点的梯度（导数乘以学习率）。
- 更新 \( x \) 的值，使其沿梯度的反方向移动一小步。
- 检查是否达到目标精度（即新旧两点之间函数值的变化小于10^-10）或是否到达边界。

4. **停止条件**：如果达到目标精度或超过最大迭代次数，停止并返回最近的 \( x \) 值，其对应的 \( f(x) \) 就可能是极小值。

5. **可能的极大值检查**：由于可能存在局部极小值，为了确认找到了全局极小值，还需要在附近的区域搜索，看看是否有更低的函数值。

下面是简单的Python代码示例，但请注意，这个过程可能需要多次尝试以获得正确的结果，因为它依赖于随机选择的初始点和学习率：

import numpy as np

def function(x):
    return 2 * np.exp(np.sin(x))

def derivative(x):
    return 2 * np.exp(np.sin(x)) * np.cos(x)

def gradient_descent(start, end, learning_rate=0.01, max_iter=1000, tolerance=1e-10):
    x_current = start
    for _ in range(max_iter):
        grad = derivative(x_current)
        x_new = x_current - learning_rate * grad
        
        # 边界检查
        if 2 <= x_new <= 7:
            old_value = function(x_current)
            new_value = function(x_new)
            
            if abs(new_value - old_value) < tolerance:
                break
                
            x_current = x_new
        else:
            print(f"Updated value {x_new} is out of bounds, resetting to boundary")
            x_current = min(max(2, x_new), 7)
    
    return x_current, function(x_current)

# 初始化参数
start_point = (2 + 7) / 2  # 中间点
result = gradient_descent(start_point, 7)
optimal_x, optimal_f = result

print(f"Minimum occurs at x ≈{optimal_x}, with a value of f(x) ≈{optimal_f}")