.编写一个程序求1！+2！+3！+…+n!，其中，n为正整数。请给出直接累计i!(1≤i≤n）的算法和改进算法。并采用相关数据测试（在上机实验时n比较大时结果会溢出，不必考虑结果溢出情况）。分析两个算法的时间复杂度。给出其算法描述或N-S图

编写一个计算从1到n所有阶乘之和的程序，我们可以使用递归和迭代两种方法来实现。这里分别介绍这两种算法：

**直接累计(i!)(1 <= i <= n) 的递归算法：**

def factorial_sum_recursive(n):
    if n == 0 or n == 1:
        return 1
    else:
        return n * factorial_sum_recursive(n - 1)

# 测试
n = int(input("请输入一个正整数: "))
result = factorial_sum_recursive(n)
print(f"1! + 2! + ... + {n}! = {result}")

这个递归算法时间复杂度是O(n)，因为它需要对n做n次乘法操作。

**改进的迭代算法（避免递归带来的栈空间消耗）：**

def factorial_sum_iterative(n):
    fact = 1
    sum_of_factors = 1
    for i in range(2, n + 1):
        fact *= i
        sum_of_factors += fact
    return sum_of_factors

# 测试
n = int(input("请输入一个正整数: "))
result = factorial_sum_iterative(n)
print(f"1! + 2! + ... + {n}! = {result}")

这个迭代算法通过循环实现了阶乘的累加，时间复杂度同样是O(n)，但它不会因为递归深度过大导致栈溢出。

在上机实验中，当n非常大时，无论哪种算法都可能导致计算的结果超出计算机可以表示的最大数值（溢出），特别是递归版本，由于栈空间限制，实际可处理的n值较小。因此，在处理大数据时，可以考虑使用数学库提供的大数运算功能，或者采取更高效的算法，比如斯特林公式近似计算阶乘。

对于算法描述（N-S图），由于这是文字平台，无法直接提供流程图。你可以想象一个包含循环和条件判断的结构，基础情况下初始化sum_of_factors为1，然后遍历从2到n，每次迭代都将当前i的阶乘累加到sum_of_factors上。在递归版本中，则是一个基本情况终止（返回1）和递归调用自身（n-1的情况）构成的树形结构。