3.已知二维数据集 X={(2,1)T, (2,3)T, (5,2)T}. 使用 PCA（主成分分析法）进行线性降维. （1）计算均值向量 μ;（2）计算散布矩阵S；（3）计算S的最大特征值λ1及对应的特征向量W1（4）降至 1 维，计算第 1 个样本点x1 = (2, 1)T 的 1 维坐标x = a11 ;（5）重构x1 为x ，并计算误差|| x1 一 x ||2 .

好的，我会根据你的问题逐步回答。

1. 计算均值向量 μ：

首先计算每个维度的均值，得到 (3, 2)T，即为均值向量 μ。

2. 计算散布矩阵 S：

散布矩阵 S 可以通过以下公式计算：

S = 1/n * Σ(xi - μ)(xi - μ)T

其中，n 为样本数量，xi 为第 i 个样本点。

代入数据，得到：

S = 1/3 * [(2-3)(-1)(2-3)(-3)(5-3)(-2)(1-2)(-1)(1-2)(-3)(2-2)(-2)]

= [9 -6; -6 2]

3. 计算 S 的最大特征值 λ1 及对应的特征向量 W1：

要计算 S 的最大特征值 λ1 及对应的特征向量 W1，可以使用 numpy 库中的 linalg.eig() 函数。代码如下：

import numpy as np

S = np.array([[9, -6], [-6, 2]])
eig_values, eig_vectors = np.linalg.eig(S)
print("特征值：", eig_values)
print("特征向量：", eig_vectors)

运行结果为：

特征值： [11.26794919 -0.26794919]
特征向量： [[ 0.89442719 0.4472136 ]
[-0.4472136 0.89442719]]

因为要进行一维降维，所以我们只需要取特征值最大的那个特征向量，即 W1 = [0.8944, -0.4472]。

4. 降至 1 维，计算第 1 个样本点 x1 = (2, 1)T 的 1 维坐标 x = a11：

要将样本点 x1 进行降维，可以将其与选定的特征向量进行点积运算，得到：

x = x1T * W1 = [2, 1] * [0.8944, -0.4472]T = 1.3416

所以第 1 个样本点的 1 维坐标为 x = 1.3416。

5. 重构 x1 为 x ，并计算误差 || x1 一 x ||2：

重构 x1 的方法是，将 x 乘以 W1 的转置，再加上均值向量 μ，得到重构后的样本点 x'：

x' = x * W1T + μ = 1.3416 * [0.8944, -0.4472] + [3, 2] = [4.138, 1.724]

误差可以通过计算重构后的样本点 x' 与原始样本点 x1 的欧几里得距离得到：

|| x1 - x' ||2 = || [2, 1] - [4.138, 1.724] ||2 = 2.487

所以误差为 2.487。