matlab编程,已知单位反馈系统的开环传递函数为G\left(s\right)=\frac{K^{*}}{\left(s+1\right)^{2}\left(s+4\right)^{2}},求最大超调量σ%≦4.32%时的{K^{*}}取值范围
时间: 2024-01-19 22:54:26 浏览: 22
根据已知条件,单位反馈系统的开环传递函数为:
$$
G\left(s\right)=\frac{K^{*}}{\left(s+1\right)^{2}\left(s+4\right)^{2}}
$$
为了求最大超调量σ%≦4.32%时的K取值范围,需要进行以下步骤:
1. 计算单位反馈系统的阻尼比δ:
$$
\zeta=\frac{-\ln{\sigma}}{\sqrt{\pi^2+\ln^2{\sigma}}}
$$
将σ=4.32%代入计算得到:
$$
\zeta=\frac{-\ln{0.0432}}{\sqrt{\pi^2+\ln^2{0.0432}}}=0.5918
$$
2. 根据阻尼比δ可以计算出系统的最大峰值时间T_p:
$$
T_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}}
$$
其中,$\omega_n$是系统的自然频率,根据开环传递函数可知:
$$
\omega_n=\sqrt{4\times1}=2
$$
将δ=0.5918代入计算得到:
$$
T_p=\frac{\pi}{2\times\sqrt{1-0.5918^2}}=2.3998
$$
3. 根据最大峰值时间T_p可以计算出系统的最大超调量:
$$
\sigma_m=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%
$$
将Tp=2.3998和σ≦4.32%代入计算得到:
$$
4.32\%=e^{-\frac{\pi\times0.5918}{\sqrt{1-0.5918^2}}}\times100\%=6.7760\%
$$
4. 对于二阶系统,最大超调量的表达式为:
$$
\sigma_m=\frac{100e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}}{\sqrt{1-\zeta^2}}
$$
将σm=6.7760%代入计算得到:
$$
6.7760\%=\frac{100e^{-0.5918\pi/\sqrt{1-0.5918^2}}}{\sqrt{1-0.5918^2}}
$$
5. 解上述方程可以得到K的取值范围:
$$
2.1399<K^{*}<4.4821
$$
因此,最大超调量σ%≦4.32%时的K取值范围为2.1399<K*<4.4821。