matlab编程,已知单位反馈系统的开环传递函数为G\left(s\right)=\frac{K^{*}}{\left(s+1\right)^{2}\left(s+4\right)^{2}},求最大超调量σ%≦4.32%时的{K^{*}}取值范围

时间: 2024-01-19 22:54:26 浏览: 22
根据已知条件,单位反馈系统的开环传递函数为: $$ G\left(s\right)=\frac{K^{*}}{\left(s+1\right)^{2}\left(s+4\right)^{2}} $$ 为了求最大超调量σ%≦4.32%时的K取值范围,需要进行以下步骤: 1. 计算单位反馈系统的阻尼比δ: $$ \zeta=\frac{-\ln{\sigma}}{\sqrt{\pi^2+\ln^2{\sigma}}} $$ 将σ=4.32%代入计算得到: $$ \zeta=\frac{-\ln{0.0432}}{\sqrt{\pi^2+\ln^2{0.0432}}}=0.5918 $$ 2. 根据阻尼比δ可以计算出系统的最大峰值时间T_p: $$ T_p=\frac{\pi}{\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}} $$ 其中,$\omega_n$是系统的自然频率,根据开环传递函数可知: $$ \omega_n=\sqrt{4\times1}=2 $$ 将δ=0.5918代入计算得到: $$ T_p=\frac{\pi}{2\times\sqrt{1-0.5918^2}}=2.3998 $$ 3. 根据最大峰值时间T_p可以计算出系统的最大超调量: $$ \sigma_m=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\% $$ 将Tp=2.3998和σ≦4.32%代入计算得到: $$ 4.32\%=e^{-\frac{\pi\times0.5918}{\sqrt{1-0.5918^2}}}\times100\%=6.7760\% $$ 4. 对于二阶系统,最大超调量的表达式为: $$ \sigma_m=\frac{100e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}}{\sqrt{1-\zeta^2}} $$ 将σm=6.7760%代入计算得到: $$ 6.7760\%=\frac{100e^{-0.5918\pi/\sqrt{1-0.5918^2}}}{\sqrt{1-0.5918^2}} $$ 5. 解上述方程可以得到K的取值范围: $$ 2.1399<K^{*}<4.4821 $$ 因此,最大超调量σ%≦4.32%时的K取值范围为2.1399<K*<4.4821。

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