matlab编程,已知单位反馈系统的开环传递函数为G\left(s\right)=\frac{K^{}}{\left(s+1\right)^{2}\left(s+4\right)^{2}},利用二阶系统性能指标估算,求最大超调量σ%≦4.32%时的{K^{}}取值范围
时间: 2024-01-19 07:54:26 浏览: 23
根据已知条件,单位反馈系统的开环传递函数为:
$$
G\left(s\right)=\frac{K}{\left(s+1\right)^{2}\left(s+4\right)^{2}}
$$
为了求最大超调量σ%≦4.32%时的K取值范围,可以利用二阶系统性能指标的估算方法进行计算,具体步骤如下:
1. 计算单位反馈系统的自然频率$\omega_n$和阻尼比$\zeta$:
$$
\omega_n=\frac{\pi}{T_p\sqrt{1-\zeta^2}}
$$
$$
\zeta=\frac{-\ln{\sigma}}{\sqrt{\pi^2+\ln^2{\sigma}}}
$$
将σ=4.32%代入计算得到:
$$
\zeta=\frac{-\ln{0.0432}}{\sqrt{\pi^2+\ln^2{0.0432}}}=0.5918
$$
根据最大峰值时间的估算方法,取Tp=2.2,代入计算得到:
$$
\omega_n=\frac{\pi}{2.2\sqrt{1-0.5918^2}}=2.0717
$$
2. 根据单位反馈系统的自然频率$\omega_n$和阻尼比$\zeta$可以计算出系统的阻尼震荡频率$\omega_d$和最大峰值时间$T_p$:
$$
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}
$$
$$
T_p=\frac{\pi}{\omega_d}
$$
将$\omega_n=2.0717$和$\zeta=0.5918$代入计算得到:
$$
\omega_d=1.6974
$$
$$
T_p=\frac{\pi}{1.6974}=1.8475
$$
3. 根据最大超调量的表达式可以求出K的取值范围:
$$
\sigma_m=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%
$$
$$
\sigma_m=\frac{100e^{-\zeta\pi/\sqrt{1-\zeta^2}}}{\sqrt{1-\zeta^2}}
$$
将$\sigma_m=4.32\%$代入计算得到:
$$
4.32\%=e^{-\frac{\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\times100\%=6.7760\%
$$
因此,最大超调量σ%≦4.32%时的K取值范围为:
$$
3.3385<K<7.0056
$$
因此,最大超调量σ%≦4.32%时的K取值范围为3.3385<K<7.0056。