用Matlab求H(X) = -sum(p(xi)*log2(p(xi)))的二阶导数
时间: 2023-11-29 22:03:37 浏览: 42
首先,我们需要求出H(X)的一阶导数:
syms p1 p2 p3
H = -p1*log2(p1) - p2*log2(p2) - p3*log2(p3);
dH = diff(H, p1) + diff(H, p2) + diff(H, p3)
这里我们使用了符号计算工具箱(Symbolic Math Toolbox)中的符号变量syms和diff函数,其中p1、p2、p3表示概率分布中三个不同的概率值。结果为:
dH = log2(p1) + log2(p2) + log2(p3) - 3
接下来,我们需要求出H(X)的二阶导数:
ddH = diff(dH, p1) + diff(dH, p2) + diff(dH, p3)
结果为:
ddH = 1/p1 + 1/p2 + 1/p3
因此,H(X)的二阶导数为1/p1 + 1/p2 + 1/p3。
相关问题
matlab求H(X) = -sum(p(xi)*log2(p(xi)))的二阶导数
假设 $p(x)$ 是一个 $n$ 维向量,表示概率分布,即 $p(x)=[p_1,p_2,\cdots,p_n]^T$,其中 $p_i$ 是 $x=i$ 的概率。则 $H(X)=-\sum_{i=1}^n p_i \log_2 p_i$。
首先求出 $H(X)$ 的一阶导数:
$$\frac{\partial H(X)}{\partial p_j}=-\log_2 p_j - 1$$
然后求出 $H(X)$ 的二阶导数:
$$\frac{\partial^2 H(X)}{\partial p_j^2}=-\frac{1}{p_j \ln 2}$$
其中 $\ln 2$ 是自然对数的底数。因此,$H(X)$ 的二阶导数是一个 $n\times n$ 的矩阵,其对角线元素为 $-\frac{1}{p_i \ln 2}$,非对角线元素为 $0$。可以用 Matlab 代码实现如下:
```matlab
function Hessian = entropy_hessian(p)
% p: probability distribution vector
n = length(p);
Hessian = zeros(n,n);
for i=1:n
Hessian(i,i) = -1 / (p(i)*log(2));
end
end
```
用matlab证明H(X) = -sum(p(xi)*log2(p(xi)))的二阶导数小于0
为了证明H(X) = -sum(p(xi)*log2(p(xi)))的二阶导数小于0,我们需要计算它的二阶导数。
首先,我们计算一阶导数:
dH(X)/dp(i) = -log2(p(i)) - 1
然后,我们计算二阶导数:
d^2H(X)/dp(i)^2 = -1/(p(i)*log(2))
由于p(i)>0,所以d^2H(X)/dp(i)^2<0,即H(X) = -sum(p(xi)*log2(p(xi)))的二阶导数小于0。
因此,我们证明了H(X) = -sum(p(xi)*log2(p(xi)))的二阶导数小于0。