用C++设计算法并编程实现用三元组顺序表解决稀疏矩阵的转置问题，用顺序存和顺序取直接存两种方法实现并分析比较2种算法的时间和空间复杂性。

稀疏矩阵转置问题是指将一个稀疏矩阵的行和列互换，得到一个新的稀疏矩阵。三元组顺序表是一种常用的存储稀疏矩阵的方式，它将矩阵中的非零元素按行优先序排列，每个非零元素用一个三元组表示。其中，三元组的第一、二个元素分别表示该非零元素所在的行和列，第三个元素表示该非零元素的值。

下面分别介绍用顺序存和顺序取两种方法实现稀疏矩阵转置的算法：

1. 顺序存算法

顺序存算法的思路比较简单，就是按照三元组顺序表的存储方式，将原矩阵中每个非零元素的行和列互换，得到一个新的三元组顺序表。具体实现如下：

#define MAXSIZE 1000  // 三元组表的最大长度

typedef struct {
    int i, j;  // 行、列下标
    int val;   // 元素值
} Triple;

typedef struct {
    Triple data[MAXSIZE+1];  // 三元组表存储空间
    int mu, nu, tu;  // 矩阵的行数、列数、非零元素个数
} TSMatrix;

void TransposeTSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix *T) {
    int k = 1;
    T->mu = M.nu;
    T->nu = M.mu;
    T->tu = M.tu;
    for (int col = 1; col <= M.nu; col++) {
        for (int p = 1; p <= M.tu; p++) {
            if (M.data[p].j == col) {
                T->data[k].i = M.data[p].j;
                T->data[k].j = M.data[p].i;
                T->data[k].val = M.data[p].val;
                k++;
            }
        }
    }
}

2. 顺序取算法

顺序取算法的思路是，按照转置后矩阵的行优先序，依次取出每个非零元素，然后放到新的三元组顺序表中。具体实现如下：

#define MAXSIZE 1000  // 三元组表的最大长度

typedef struct {
    int i, j;  // 行、列下标
    int val;   // 元素值
} Triple;

typedef struct {
    Triple data[MAXSIZE+1];  // 三元组表存储空间
    int mu, nu, tu;  // 矩阵的行数、列数、非零元素个数
} TSMatrix;

void TransposeTSMatrix(TSMatrix M, TSMatrix *T) {
    int pos[M.nu+1], num[M.nu+1];
    memset(num, 0, sizeof(num));
    T->mu = M.nu;
    T->nu = M.mu;
    T->tu = M.tu;
    for (int p = 1; p <= M.tu; p++) {
        num[M.data[p].j]++;
    }
    pos[1] = 1;
    for (int col = 2; col <= M.nu; col++) {
        pos[col] = pos[col-1] + num[col-1];
    }
    for (int p = 1; p <= M.tu; p++) {
        int col = M.data[p].j;
        int q = pos[col];
        T->data[q].i = M.data[p].j;
        T->data[q].j = M.data[p].i;
        T->data[q].val = M.data[p].val;
        pos[col]++;
    }
}

两种算法的时间和空间复杂度如下：

| 算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
|------------|------------|------------|
| 顺序存算法 | $O(tu)$ | $O(tu)$ |
| 顺序取算法 | $O(nu+tu)$ | $O(tu)$ |

其中，$tu$ 表示矩阵中的非零元素个数，$nu$ 表示矩阵的列数。可以看到，两种算法的时间复杂度都是 $O(tu)$ 级别的，但是顺序取算法的空间复杂度更低，因为它不需要创建一个新的三元组顺序表，而是直接在原有的三元组顺序表中修改元素的行和列。因此，如果空间有限，可以选择使用顺序取算法。