N2 = Ω(2Nlog2N),但N2 (2Nlog2N)
时间: 2023-05-24 19:05:40 浏览: 118
这句话想要表达的意思是,数量级为O(2Nlog2N)的算法复杂度记作Ω(2Nlog2N),但不能直接将其记作θ(2Nlog2N)。
Ω记号表示算法复杂度的下界,即算法最少需要的时间复杂度,而θ记号则表示算法复杂度的上下界,即算法的时间复杂度介于一个常数乘以给定函数之间。因此,仅有Ω记号并不能准确地描述算法的时间复杂度。
实际上,在某些情况下,算法的实际时间复杂度可能与O(2Nlog2N)相等,但在一般情况下,复杂度会略低于O(2Nlog2N)。因此,我们不能将这个复杂度直接描述为θ(2Nlog2N),而应该用Ω(2Nlog2N)来表示。
相关问题
用渐近符号定义证明:N2 = Ω(2Nlog2N),但N2 不等于(2Nlog2N)。
首先,我们需要证明N2 = Ω(2Nlog2N)。
用渐近符号定义,假设存在正常数c和n0,使得当N≥n0时,有N2≥c·2Nlog2N。
取对数得log2(N2)≥log2(c·2Nlog2N),即2·log2(N)≥log2(c)+N·log2(2·log2(N))。
因为log2(N)最小为1,所以我们可以取c=1/2和n0=2,使得当N≥2时,有2·log2(N)≥log2(1/2)+N·log2(2·log2(N))。
化简得2·log2(N)≥N·log2(2·log2(N))
因此,N2 = Ω(2Nlog2N)。
接下来,我们需要证明N2 ≠ Θ(2Nlog2N),换句话说,N2不能同时是O(2Nlog2N)和Ω(2Nlog2N)。
假设N2 = O(2Nlog2N),则存在正常数c和n0,使得当N≥n0时,有N2≤c·2Nlog2N。
取对数得log2(N2)≤log2(c·2Nlog2N),即2·log2(N)≤log2(c)+N·log2(2·log2(N))。
因为log2(N)最小为1,我们取c=2和n0=2,使得当N≥2时,有2·log2(N)≤log2(2)+N·log2(2·log2(N))。
化简得,log2(N)≤N·log2(2·log2(N))
因为log2(N)和N·log2(2·log2(N))都是单调递增的函数,对于任何N≥2,上述不等式显然成立。
因此,N2≤c·2Nlog2N对于任何正数c成立,N2 = O(2Nlog2N)。
但由于我们已经证明N2 = Ω(2Nlog2N),所以N2不能同时是O(2Nlog2N)和Ω(2Nlog2N)。因此,N2 ≠ Θ(2Nlog2N)。
综上所述,我们证明了N2 = Ω(2Nlog2N)且N2 ≠ Θ(2Nlog2N)。
f(n)=nlog2n的tight bound
f(n)的tight bound为O(n log n)。
证明:
根据定义,要证明f(n)的tight bound为O(n log n),需要找到两个常数c和n0,使得当n≥n0时,有f(n)≤c(n log n)。
考虑f(n)/n log n,即
f(n)/(n log n) = log2n
对于所有的n>1都有log2n<n,因此f(n)/n log n的值是单调递增的。因此可以取c=1和n0=2,当n≥2时,由于f(n)/nlogn<1,因此有f(n) ≤ n log n,即f(n)的tight bound为O(n log n)。
因此,f(n)的tight bound为O(n log n)。
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