已知f(x)=a(e*+a)-x. (1)讨论f(x)的单调性; (2)证明:当a>0时，f(x)>2In2

首先对于函数f(x)=a(e^a-x)，我们可以对其求导：
f'(x) = -1
因为a和e^a都是正数，所以f'(x)<0，即f(x)在定义域内单调递减。

接下来证明当a>0时，f(x)>2ln2：
当x=0时，f(x) = a(e^a)，因此我们只需要证明a(e^a) > 2ln2即可。
考虑函数g(a) = ae^a/2ln2，对g(a)求导可得：
g'(a) = (2ln2 - a)e^a/2ln2^2
当a<2ln2时，g'(a)>0，即g(a)单调递增。
当a>2ln2时，g'(a)<0，即g(a)单调递减。
因此，g(a)在a=2ln2处取得最大值，即g(2ln2) = e^(2ln2)/2ln2 = 2，即ae^a/2ln2 > 2，即a(e^a) > 2ln2。
因此，当a>0时，f(x) = a(e^a-x) > a(e^a) > 2ln2。

综上所述，当a>0时，f(x)在定义域内单调递减，且f(x)>2ln2。

相关问题

已知函数f（x）=a（eˣ+a）-x. 证明：当a＞0时，f（x）=2lna+3/2

我们可以对f(x)进行求导，找到其最小值点，从而进一步证明当a>0时，f(x)的取值为2lna+3/2。

首先，对f(x)进行求导：

f'(x) = a(e^x + a) - 1

令f'(x) = 0，解得：

e^x = 1/a

代入f(x)中得：

f(x) = a(e^x + a) - x

= a(1/a + a) - ln(a)

= 2ln(a) + 1/a - ln(a)

= 2ln(a) + 1/a - 2ln(a)

= 1/a

因此，f(x)的最小值为1/a。

当a>0时，1/a>0，所以f(x)的最小值点是全局最小值点。因此，f(x)的取值范围为[1/a, +∞)。又因为1/a=2lna+3/2-2ln2，所以当a>0时，f(x)的取值为2lna+3/2。

综上所述，当a>0时，f(x)=2lna+3/2。证毕。

已知f(x)=1.252e-08 * x ** 4 - 6.196e-06 * x ** 3 + 0.0006689 * x ** 2 + 0.04584 * x + 0.3731，如何计算根号下1+f(x)导数的平方的定积分

首先，计算根号下1+f(x)的导数：

f'(x) = (1/2) * (1+f(x)) ^ (-1/2) * f'(x)

然后，计算根号下1+f(x)导数的平方：

[ f'(x) ] ^ 2 = (1/4) * (1+f(x)) ^ (-1) * [ f'(x) ] ^ 2

最后，计算定积分：

∫[a,b] [ f'(x) ] ^ 2 dx = (1/4) * ∫[a,b] (1+f(x)) ^ (-1) * [ f'(x) ] ^ 2 dx

根据上式，我们可以先计算出 f(x) 的导数 f'(x)，然后代入到公式中，再进行定积分的计算。