计算\frac{3}{5} (\frac{2}{3} log_{2}\frac{2}{3} +\frac{1}{3}log_{2}\frac{1}{3})
时间: 2023-09-25 21:06:37 浏览: 27
首先,我们可以利用对数的性质将式子化简为:
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{5} (\frac{2}{3} log_{2}\frac{2}{3} +\frac{1}{3}log_{2}\frac{1}{3}) &= \frac{3}{5} log_{2}(\frac{2}{3}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{3}^{\frac{1}{3}}) \\
&= \frac{3}{5} log_{2}(\frac{2^2}{3^3}) \\
&= \frac{3}{5} log_{2}(\frac{4}{27}) \\
\end{aligned}
$$
然后,我们可以利用换底公式将对数的底数变为 $10$,即:
$$
\begin{aligned}
\frac{3}{5} log_{2}(\frac{4}{27}) &= \frac{3}{5} \cdot \frac{log_{10}(\frac{4}{27})}{log_{10}2} \\
&= \frac{3}{5} \cdot (-1.415) \\
&= -0.849 \\
\end{aligned}
$$
因此,$\frac{3}{5} (\frac{2}{3} log_{2}\frac{2}{3} +\frac{1}{3}log_{2}\frac{1}{3})$ 的值为 $-0.849$。
相关问题
计算-\frac{2}{5}\times \log_{2}{\frac{2}{3} }\times \frac{2}{3} -\frac{2}{5}\times \log_{2}{\frac{1}{3} }\times \frac{1}{3}
好的,让我来帮您计算一下。
首先,我们可以化简一下式子:
$$-\frac{2}{5}\times \log_{2}{\frac{2}{3} }\times \frac{2}{3} -\frac{2}{5}\times \log_{2}{\frac{1}{3} }\times \frac{1}{3}$$
$$=-\frac{4}{15}\times \log_{2}{\frac{2}{3} }-\frac{2}{15}\times \log_{2}{\frac{1}{3} }$$
然后,我们可以使用换底公式将对数的底数转换为 $2$:
$$=-\frac{4}{15}\times \frac{\ln{\frac{2}{3}}}{\ln{2}}-\frac{2}{15}\times \frac{\ln{\frac{1}{3}}}{\ln{2}}$$
接下来,我们可以将分子中的 $\ln{\frac{2}{3}}$ 和 $\ln{\frac{1}{3}}$ 简化一下:
$$=-\frac{4}{15}\times \frac{\ln{2}-\ln{3}}{\ln{2}}-\frac{2}{15}\times \frac{-\ln{3}}{\ln{2}}$$
$$=-\frac{4}{15}\times \left(1-\frac{\ln{3}}{\ln{2}}\right)+\frac{2}{15}\times \frac{\ln{3}}{\ln{2}}$$
$$=-\frac{4}{15}+\frac{4}{15}\times \frac{\ln{3}}{\ln{2}}+\frac{2}{15}\times \frac{\ln{3}}{\ln{2}}$$
$$=-\frac{4}{15}+\frac{2}{5}\times \frac{\ln{3}}{\ln{2}}$$
最后,我们可以将 $\frac{\ln{3}}{\ln{2}}$ 约等于 $1.585$ 代入计算,得到结果:
$$\approx -\frac{4}{15}+0.634$$
$$\approx 0.10867$$
因此,原式的值约等于 $0.10867$。
证明Christofides算法是3/2近似的
要证明Christofides算法是3/2近似的,我们需要首先定义一些符号和概念:
- $G=(V,E)$ 表示一个无向完全图,其中 $V$ 是节点集合,$E$ 是边集合。
- $w:E\rightarrow \mathbb{R}^+$ 是一个边权重函数,表示边的长度或者距离。
- $T$ 表示一个 $G$ 的生成树,$w(T)$ 是 $T$ 的总边权。
- $M$ 表示 $G$ 的一个最小权匹配,$w(M)$ 是 $M$ 的总边权。
现在我们来证明Christofides算法的3/2近似性:
1. 首先,我们使用Prim算法来构造一个最小生成树 $T$。这个步骤的时间复杂度是 $O(|E|\log |V|)$,因为Prim算法的时间复杂度是 $O(|E|\log |V|)$。
2. 接下来,我们从生成树 $T$ 中选择所有奇数度节点,构造一个子图 $G'$,并在 $G'$ 上运行一个最小权匹配算法 $M$。这个最小权匹配可以通过暴力枚举所有匹配来实现,时间复杂度是 $O(|V|^3)$。但是可以使用更有效的算法,比如Hopcroft-Karp算法,时间复杂度是 $O(|E|\sqrt{|V|})$。
3. 然后,我们将生成树 $T$ 和匹配 $M$ 合并成一个欧拉回路 $C$。具体地,我们将生成树 $T$ 上的每条边重复添加一次,然后遍历匹配 $M$ 上的所有边。这样,我们得到的欧拉回路 $C$ 的长度是 $w(C) = w(T) + w(M)$。
4. 最后,我们将欧拉回路 $C$ 转化为哈密顿回路 $H$。具体地,我们从 $C$ 中去掉重复访问的节点,得到一个哈密顿回路 $H$。因为 $C$ 中每个节点都被访问了偶数次,所以 $H$ 中每个节点都被访问了一次。因此,$w(H) = w(C)$。
现在我们来计算Christofides算法的近似比:
$$
\begin{aligned}
w(H) & = w(C) \\
& = w(T) + w(M) \\
& \leq 2w(T) \quad \text{(因为 $M$ 是最小权匹配,所以 $w(M) \leq w(OPT_M)$)} \\
& \leq 2w(OPT_T) \quad \text{(因为 $T$ 是生成树,所以 $w(T) \leq w(OPT_T)$)} \\
& = 2OPT_T \\
& = 2OPT \quad \text{(因为 $T$ 是任意生成树,所以 $OPT_T = OPT$)}
\end{aligned}
$$
因此,Christofides算法的近似比为 $\frac{w(H)}{OPT} \leq 2$。但是,我们还需要证明欧拉回路可以转化为哈密顿回路,即欧拉回路上的每个节点都可以仅被访问一次。这可以通过反证法来证明:假设存在一个欧拉回路 $C$,其中有一个节点 $v$ 被访问了两次,那么我们可以在 $C$ 上找到一条从 $v$ 开始和结束的路径,将这条路径反转后,就得到了一个更短的欧拉回路,这与 $C$ 是最短欧拉回路矛盾。因此,欧拉回路可以转化为哈密顿回路,Christofides算法的近似比为 $\frac{w(H)}{OPT} \leq 2$。
综上所述,Christofides算法是3/2近似的。