若x不等于0,y不等于0时,f(x,y)=(x*(y^2))/(x^2+y^2),且x=0,y=0时,f(x,y)=0,则在原点(0,0)处连续吗,偏导数存在吗
时间: 2024-05-28 11:11:49 浏览: 15
我们可以使用极坐标来研究原点处的连续性和偏导数是否存在。
将 $x$ 和 $y$ 转换为极坐标 $r$ 和 $\theta$,即:
$$
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
$$
则原函数可以表示为:
$$
f(r,\theta) = \frac{r^3 \cos\theta \sin^2\theta}{r^2} = r\cos\theta\sin^2\theta
$$
当 $r=0$ 时,$f(r,\theta)=0$,原函数在原点连续。
接下来我们来研究偏导数是否存在。对 $f(r,\theta)$ 分别求 $\theta$ 和 $r$ 的偏导数:
$$
\frac{\partial f}{\partial\theta} = r\cos\theta\cdot 2\sin\theta\cos\theta - r\sin^3\theta = r\cos\theta\sin\theta(2\cos^2\theta - 1) \\
\frac{\partial f}{\partial r} = \cos\theta\sin^2\theta
$$
我们需要证明在 $(0,0)$ 处两个偏导数都存在且相等。
首先,$\frac{\partial f}{\partial r}$ 在 $(0,0)$ 处存在,因为 $\cos\theta\sin^2\theta$ 是连续的且 $\cos\theta\sin^2\theta\leq r$。因此,$\lim\limits_{r\rightarrow 0}\frac{f(r,\theta)-f(0,0)}{r} = \cos\theta\sin^2\theta$ 存在。
接下来,我们需要证明 $\frac{\partial f}{\partial\theta}$ 在 $(0,0)$ 处存在。注意到 $|f(r,\theta)|\leq r$,因此有:
$$
\left|\frac{f(r,\theta)-f(0,0)}{\theta}\right| = \left|\frac{r\cos\theta\sin^2\theta}{\theta}\right| \leq r\left|\frac{\cos\theta\sin^2\theta}{\theta}\right|
$$
由于 $\frac{\cos\theta\sin^2\theta}{\theta}$ 在 $0$ 处的极限存在,所以 $\frac{\partial f}{\partial\theta}$ 在 $(0,0)$ 处存在。
最后,我们需要证明两个偏导数相等:
$$
\begin{aligned}
\frac{\partial f}{\partial\theta} &= r\cos\theta\sin\theta(2\cos^2\theta - 1) \\
&= -r\sin\theta\cos(2\theta)\cdot \frac{1}{2} \\
&= -\frac{r}{2}\sin(2\theta)
\end{aligned}
$$
因此,$\lim\limits_{\theta\rightarrow 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial\theta}(0,\theta)-\frac{\partial f}{\partial\theta}(0,0)}{\theta} = 0$,即 $\frac{\partial f}{\partial\theta}$ 在 $(0,0)$ 处连续,且 $\frac{\partial f}{\partial\theta}(0,0) = 0$。
综上所述,原函数在原点 $(0,0)$ 处连续,且两个偏导数都存在且相等,因此在原点 $(0,0)$ 处偏导数存在。