有限域f3中的元素和乘法加法群表

有限域f3中的元素有0、1和2，因此加法和乘法群表如下：

加法群表：

| + | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 2 |
| 1 | 1 | 2 | 0 |
| 2 | 2 | 0 | 1 |

其中，0是加法单位元，每个元素都有一个加法逆元，满足：

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
0 + 2 = 2
1 + 0 = 1
1 + 1 = 2
1 + 2 = 0
2 + 0 = 2
2 + 1 = 0
2 + 2 = 1

乘法群表：

| × | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 |
| 2 | 0 | 2 | 1 |

其中，1是乘法单位元，每个非零元素都有一个乘法逆元，满足：

1 × 1 = 1
1 × 2 = 2 × 1 = 2
2 × 2 = 1

需要注意的是，在有限域f3中，加法和乘法的结果不同，因此加法群和乘法群不是同一个群。

相关问题

有限域f2中的元素和乘法加法群表

有限域f2中的元素只有0和1，因此加法和乘法群表都非常简单。

加法群表：

| + | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |

其中，0和1分别是加法单位元和加法逆元，满足：

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0

乘法群表：

| × | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |

其中，1是乘法单位元，满足：

0 × 0 = 0
0 × 1 = 0
1 × 0 = 0
1 × 1 = 1

需要注意的是，在有限域f2中，加法和乘法的结果相同，因此加法群和乘法群实际上是同一个群。

编程实现求解模素数p构成的有限域GF（p）上的全部非零元素的加法和乘法逆元

在GF(p)中，非零元素的个数为p-1个，可以用以下代码实现求解它们的加法和乘法逆元：

p = 7  # 模素数p
non_zero_elems = list(range(1, p))  # GF(p)中的非零元素

# 求解加法逆元
additive_inverse = [0] * (p-1)
for i in range(p-1):
    for j in range(p-1):
        if (non_zero_elems[i] + non_zero_elems[j]) % p == 0:
            additive_inverse[i] = non_zero_elems[j]
            break

# 求解乘法逆元
multiplicative_inverse = [0] * (p-1)
for i in range(p-1):
    for j in range(1, p):
        if (non_zero_elems[i] * j) % p == 1:
            multiplicative_inverse[i] = j
            break

print(f"GF({p})中的非零元素为{non_zero_elems}")
print(f"加法逆元为{additive_inverse}")
print(f"乘法逆元为{multiplicative_inverse}")

运行结果如下：

GF(7)中的非零元素为[1, 2, 3, 4, 5, 6]
加法逆元为[6, 5, 4, 3, 2, 1]
乘法逆元为[1, 4, 5, 2, 3, 6]

以上代码实现了GF(p)中的非零元素的加法和乘法逆元的求解，并且输出了结果。其中，`additive_inverse`为加法逆元列表，`multiplicative_inverse`为乘法逆元列表。