如果正整数x、y，满足等式x^2+84x+2016=y^2,求x^3+y^3的值

将等式x^2 + 84x = y^2 + 2016两边同时加上1764，得到
x^2 + 84x + 1764 = y^2 + 2016 + 1764
即(x + 42)^2 = (y + 66)^2
移项整理可得(x - y + 24)(x + y + 66) = 0
因为x和y都是正整数，所以只能是x + y + 66 = 0，即x + y = -66不成立。
因此，只能是x - y + 24 = 0，即x = y - 24。
将x = y - 24代入原等式可得y^2 - 48y + 576 = y^2 - (2^2)×(3^2)×(4^2)
因此，y^2 = (2^2)×(3^2)×(7^2)。因为y是正整数，所以y = 84。
代入x = y - 24，得到x = 60。
因此，x^3 y^3 = (60^3)×(84^3) = 1,123,032,960,000。

相关问题

输入正整数k，求出所有正整数x >= y，并且 1/k = 1/x + 1/y

### 回答1：
这是一个经典的数学问题，也称为“埃及分数问题”。

解法如下：

首先，我们可以将等式两边同时乘以 kxy，得到：

ky + kx = xy

移项，得到：

xy - kx - ky =

这是一个二元二次方程，我们可以使用求根公式求解。

令 a = 1，b = -k，c = -k，代入求根公式：

x = (-b + sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

y = (-b - sqrt(b^2 - 4ac)) / 2a

化简后，得到：

x = k + 2k^2 / (4k - y)

y = k + 2k^2 / (4k - x)

因为 x >= y，所以我们可以从 k+1 开始枚举 y，然后根据上面的公式计算出对应的 x，如果 x 是正整数，就输出 x 和 y。

代码如下：

k = int(input("请输入正整数 k："))

for y in range(k+1, 2*k+1):
x = k + 2*k*k // (4*k - y)
if x >= y and k*y % (y - k*x) == :
print("x =", x, "y =", y)

### 回答2：
这是一道数学问题，需要一定的数学知识才能解答。

首先，我们可以将条件化简：

1/k = 1/x 1/y
=> 1/k = (x+y)/(xy) （两边同乘 xy）
=> k = (xy)/(x+y)

接下来，我们考虑如何求解满足条件的正整数 x 和 y。

由于 k = (xy)/(x+y)，所以 x+y 必须能够整除 xy。因此，我们可以先枚举 x+y 的值，再利用 x+y 能够整除 xy 的条件来确定 x 和 y 的值。

具体来说，我们可以从 x+y = 2 开始枚举，一直枚举到 x+y = 2k。对于每个 x+y 的值，我们检查它是否能够整除 k。如果能够整除，那么设 x+y = t，xy = tk，于是可以解出 x 和 y：

x = (t+sqrt(t^2-4tk))/2
y = (t-sqrt(t^2-4tk))/2

注意，为了使 x 和 y 都是正整数，要求 t^2-4tk 是完全平方数。如果不满足这个条件，说明对于这个 x+y 的值不存在满足条件的 x 和 y。

最后，我们把所有满足条件的 x 和 y 记录下来就可以了。由于可能存在重复的解，需要去重。

总结一下，求解步骤如下：

1. 枚举 x+y，检查是否能够整除 k。

2. 如果能够整除，解出 x 和 y，判断是否满足条件。

3. 记录满足条件的 x 和 y。

4. 去重，输出结果。

需要注意的是，这个算法的时间复杂度比较高，取决于枚举范围和去重过程的实现方式。如果 k 比较小，可以通过一些小优化来提升速度，比如：对于每个 x+y，只需枚举 t 的范围，不必每次都求解 x 和 y；利用对称性，只需枚举一半的情况等等。

### 回答3：
题目要求求出所有满足条件的 x 和 y，可以采用较为通用的解法——通过数学方法推导出 x 和 y 的关系式，然后根据关系式依次求解。

首先，将式子进行转化，得到：

k = xy / (x + y)

移项化简后得到：

x = ky / (y - k)

通过观察可以发现，当 y> k 时，y - k > 0，此时 x 为正整数的条件为 ky % (y - k) = 0。因为 x、y、k 均为正整数，因此限定遍历 y 时只需要从 k+1 开始即可，不必考虑更小的情况。接下来，只需要按照该条件依次遍历 y 并求解出相应的 x 即可。

由于 y 可能会很大，因此可以按照如下方式进行更高效的求解：

首先，根据约数定理，k 的因子只有可能出现在 (1, k^(1/2)] 的范围内，因此可以限定考虑的因子范围；

其次，不必考虑所有大于 k 的数作为 y 的因子，因为此时 xy >= 2k^2，使得 1/k < 1/x + 1/y，显然不满足条件。

考虑到 x 与 y 的对称性，我们可以在遍历 y 的同时直接求出对应的 x 并将其存储在数组中，同时记录下可能是最小值的 x 和 y 作为起始值。当循环结束后，我们就能够得到所有满足条件的 x 和 y，并依次输出即可。

综上所述，通过逐步约束变量范围和遍历，我们可以快速求解出所有满足条件的 x 和 y。

x/(y+z)+y/(x+z)+z(x+y) = 4,是否存在正整数解使等式成立，有解请列出其中一组

要判断是否存在正整数解使等式成立，可以尝试使用整数不等式来解决。

将等式左边的每一项都展开，得到：

x/(y+z) + y/(x+z) + z(x+y) = x/(y+z) + y/(x+z) + zx + zy

然后，利用均值不等式和调和均值不等式，可以得到：

x/(y+z) + y/(x+z) ≥ (x+y) / (x+y+2z)

x/(y+z) + z/(x+y) ≥ (x+z) / (x+y+2z)

y/(x+z) + z/(y+x) ≥ (y+z) / (x+y+2z)

将上面三个不等式相加，得到：

2(x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y)) ≥ 2(x+y+z) / (x+y+2z)

将等式左边的 x/(y+z) + y/(x+z) + z/(x+y) 代入，得到：

8 ≥ 2(x+y+z) / (x+y+2z)

化简得到：

4(x+y+2z) ≥ x+y+z

3x+3y+7z ≥ 0

因为 x、y、z 都是正整数，所以最后一个不等式不成立。因此，该等式没有正整数解使其成立。

因此，该等式没有正整数解使其成立。