解线性方程组的直接方法 编写程序实现Gauss消去法,并用编写的程序求解如下线性方程组Ax=b,A∈R^(n×n),b∈R^n.

线性方程组的直接方法，比如高斯消元法（Gaussian Elimination），是一种经典的数值计算技术，用于求解矩阵A乘以向量x等于向量b的形式下的线性系统 Ax = b。这种方法通过一系列行变换将系数矩阵转换成阶梯形或简化上三角形式，进而容易求解。

以下是使用Python实现高斯消元法的基本步骤：

def gauss_elimination(A, b):
    n = len(A)  # 系统的维度
    for i in range(n):
        # 如果当前列的第一个元素不是非零的，交换行
        if A[i][i] == 0:
            for j in range(i+1, n):
                if A[j][i] != 0:
                    A[[i, j], :] = A[[j, i], :]
                    b[[i, j]] = b[[j, i]]
                    break
        
        # 将当前行的元素消为0
        for j in range(i+1, n):
            factor = A[j][i] / A[i][i]
            A[j, :] -= factor * A[i, :]
            b[j] -= factor * b[i]

    # 检查是否达到简化上三角形式
    if any(A[i][i] == 0 for i in range(n)):
        raise ValueError("Singular matrix, no unique solution.")
        
    # 向量化回代求解
    x = [0] * n
    for i in reversed(range(n)):
        x[i] = (b[i] - sum(A[i][j] * x[j] for j in range(i))) / A[i][i]
    return x

# 示例线性方程组
A = [[4, 2, 1],
     [3, 5, 7],
     [1, -2, 8]]
b = [6, 24, 14]

solution = gauss_elimination(A, b)
solution  # 返回线性方程组的解