已知矩阵A第一行是(1,1,2)第二行是(0,1,1)第三行是(1,3,4).求其零空间N(A)和值域R(A),并指出其维数

矩阵A的第一行是 (1, 1, 2)，第二行是 (0, 1, 1)，第三行是 (1, 3, 4)，我们可以将其表示为：

| 1 1 2 |
| 0 1 1 |
| 1 3 4 |

为了找到矩阵A的零空间N(A)，即解线性方程组 Ax = 0 的非零解集合，我们首先需要计算它的系数矩阵的秩。由于矩阵A有3行，我们需要找一组行向量使其成依赖关系，以确定秩。

从给出的信息看，矩阵的前三列可以转化为：

1. 第一行减去第二行得到：(-1, -1, 1)
2. 第三行减去第一行得到：(0, 2, 2)

这表明前两行已经构成了矩阵的秩，因为它们线性独立，所以矩阵A的秩是2。

零空间 N(A) 中的向量必须满足Ax=0，即对于任意一个属于N(A)的向量 x，它应该是形式为：

x = k * (-1, -1, 1) + m * (0, 2, 2)

其中k和m是任意实数。所以N(A)的维度就是3（矩阵的总行数）减去秩2，即1维。

接下来，矩阵A的值域 R(A) 是所有可能输出向量的空间，由于矩阵的秩是2，这意味着它可以生成2维空间中的所有向量（因为它是满秩的）。所以，R(A)是二维的。

总结一下：
- N(A) (零空间): 纬度为1，向量可以表示为 (k, 2k, -k) 或 k*(-1, -2, 1)，其中 k 是任意实数。
- R(A) (值域): 维度为2，包含了形如 (a, b, c) 的向量，其中 a 和 b 可以是任意实数，c 由 a 和 b 按照矩阵A的关系确定。