Θ(g(n))=O(g(n))∧Ω(g(n))
时间: 2024-01-23 17:02:48 浏览: 23
根据大O符号和大Ω符号的定义,Θ(g(n))=O(g(n))∧Ω(g(n))成立当且仅当g(n)是一个渐进正函数。其中,渐进正函数指的是一个非负函数,且存在正常数c1和c2,使得对于充分大的n,有0≤c1g(n)≤f(n)≤c2g(n)成立。因此,如果g(n)是一个渐进正函数,那么Θ(g(n))=O(g(n))∧Ω(g(n))成立。
相关问题
θ(g(n) =O(g(n))∧Ω(g(n))证明
根据定义,当存在正常数c1和c2以及n0时,对于所有的n≥n0,都有0≤c1g(n)≤θ(g(n))≤c2g(n)成立。因此,当θ(g(n))=O(g(n))且θ(g(n))=Ω(g(n))时,我们需要证明存在c1、c2和n0,使得对于所有的n≥n0,都有0≤c1g(n)≤θ(g(n))≤c2g(n)成立。
由于θ(g(n))=O(g(n)),因此存在正常数c3和n1,使得对于所有的n≥n1,都有θ(g(n))≤c3g(n)成立。同样地,由于θ(g(n))=Ω(g(n)),因此存在正常数c4和n2,使得对于所有的n≥n2,都有θ(g(n))≥c4g(n)成立。
现在,我们可以选择c1=c4和c2=c3,并选择n0=max(n1,n2)。因此,对于所有的n≥n0,都有0≤c1g(n)≤θ(g(n))≤c2g(n)成立,证明了θ(g(n))=O(g(n))且θ(g(n))=Ω(g(n))。因此,θ(g(n))=Θ(g(n))。
f(n)=O(g(n))、f(n)=Ω(g(n))、f(n)=Θ(g(n))等的含义
f(n) = O(g(n)) 表示存在正常数 c 和 n0,使得当 n ≥ n0 时,f(n) 的值不超过 g(n) 的值的 c 倍。也就是说,f(n) 的增长率不会比 g(n) 的增长率快。
f(n) = Ω(g(n)) 表示存在正常数 c 和 n0,使得当 n ≥ n0 时,f(n) 的值至少为 g(n) 的值的 c 倍。也就是说,f(n) 的增长率不会比 g(n) 的增长率慢。
f(n) = Θ(g(n)) 表示存在正常数 c1,c2 和 n0,使得当 n ≥ n0 时,f(n) 的值在 c1 倍 g(n) 的值和 c2 倍 g(n) 的值之间。也就是说,f(n) 的增长率和 g(n) 的增长率是相等的,它们的渐进增长率相同。