如果f (n) = Θ(n log𝑏𝑎logk𝑛),其中k≥1,则主递归有解T (n) = Θ(n log𝑏𝑎logk+1𝑛)
时间: 2023-06-03 07:03:23 浏览: 40
这个问题属于数学问题,可以回答。根据主定理,f(n) = Θ(n^(logba)), 由于k≥1,所以 logk(n) ≥ 1,所以主递归有解T(n) = Θ(n^(logba) logk(1n)) = Θ(n(logba)logk(n))。
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递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)之通用解法
递归方程T(n)=aT(n/b)+f(n)的通用解法是主定理(Master Theorem)。主定理给出了递归方程的渐进复杂度的精确解。主定理有三种情况:
1. 如果f(n) = O(n^log_b(a-ε)),其中ε>0,则T(n) = Θ(n^log_b(a))。
2. 如果f(n) = Θ(n^log_b(a)),则T(n) = Θ(n^log_b(a) * log n)。
3. 如果f(n) = Ω(n^log_b(a+ε)),其中ε>0,并且af(n/b) ≤ cf(n),其中c<1和充分大的n,则T(n) = Θ(f(n))。
其中a是递归调用的次数,b是问题规模的缩小比例,f(n)是递归调用之外的工作量。
分析递归求时间复杂度 T(n)=8T(n\2)+n3
对于这个递归式,可以使用主定理来求解。根据主定理,T(n) = aT(n/b) + f(n) 的时间复杂度为:
- 如果 f(n) = O(n^c),其中 c < log_b(a),则 T(n) = O(n^log_b(a))。
- 如果 f(n) = Θ(n^c),其中 c = log_b(a),则 T(n) = O(n^c log n)。
- 如果 f(n) = Ω(n^c),其中 c > log_b(a),且 a*f(n/b) <= k*f(n)(其中 k < 1),则 T(n) = O(f(n))。
对于 T(n) = 8T(n/2) + n^3,a = 8,b = 2,f(n) = n^3。因为 c = 3 > log_2(8) = 3,所以我们可以使用第三种情况的公式来求解。此时,a*f(n/b) = 8*(n/2)^3 = 2^3 * n^3 / 2^3 = n^3,k = 1/8 < 1,所以 T(n) = Θ(n^3)。