如果f (n) = Θ（n log𝑏𝑎logk𝑛），其中k≥1，则主递归有解T (n) = Θ（n log𝑏𝑎logk+1𝑛）

时间: 2023-06-03 20:03:23 浏览: 179

递归方程求解

### 递归方程求解方法详解 #### 一、递推法递推法是一种直接根据递归方程的定义来求解递归方程的方法。这种方法适用于那些可以直接通过迭代计算来找到规律的递归方程。 **例1：Hanoi塔问题** Hanoi塔问题是一个经典的递归问题，其递归方程可以表示为： \[T(n) = 2T(n-1) + 1\] 这里，\(T(n)\) 表示移动 \(n\) 个盘子所需的操作次数。根据递推法，我们可以逐步推导出 \(T(n)\) 的表达式： - 当 \(n=1\) 时，显然只需一次操作； - 假设 \(T(k) = 2^k - 1\) 成立，那么对于 \(n=k+1\)，根据递归方程有 \(T(k+1) = 2T(k) + 1 = 2(2^k - 1) + 1 = 2^{k+1} - 1\)。因此，Hanoi塔问题递归算法的时间复杂度为 \(O(2^n)\)。 **例2：分治法实例** 设一个分治算法的时间复杂度由递归方程 \(T(n) = aT(\frac{n}{b}) + d(n)\) 给出，其中 \(a\) 和 \(b\) 是常数，\(d(n)\) 表示合并子问题所需的时间。假设 \(a=2\)，\(b=2\)，\(d(n)=cn\)（即线性工作量）。 - 设定 \(n=b^k\)，代入递归方程得到 \(T(b^k) = 2T(b^{k-1}) + cn\)。 - 递推展开后得到 \(T(b^k) = 2^k T(1) + c \sum_{i=0}^{k-1} 2^i b^i\)。 - 因此，\(T(n) = nT(1) + c \sum_{i=0}^{k-1} n/2^i = nT(1) + cn(2^k - 1)/(2 - 1) = nT(1) + cn(2^{\log_b n} - 1)\)。 - 最终得到 \(T(n) = O(n\log n)\)。 #### 二、公式解法公式解法主要涉及齐次递推方程和非齐次递推方程的求解。 **1. 齐次递推方程** 齐次递推方程的一般形式为： \[a_kx_k + a_{k-1}x_{k-1} + \ldots + a_1x_1 + a_0x_0 = 0\] 这里的系数 \({a_0, a_1, \ldots, a_k}\) 为常数。 **例1：求解递归方程** 考虑递归方程 \(x_k - 6x_{k-1} + 11x_{k-2} - 6x_{k-3} = 0\)。首先构建特征方程 \(λ^3 - 6λ^2 + 11λ - 6 = 0\)，解得特征根为 -1, -1, -1, 2。由于存在三重根 -1，因此通解为 \(x_k = C_1(-1)^k + C_2k(-1)^k + C_3k^2(-1)^k + C_42^k\)。通过初始条件可以求出具体系数 \(C_i\)。 **2. 非齐次递推方程** 非齐次递推方程的一般形式为： \[a_kx_k + a_{k-1}x_{k-1} + \ldots + a_1x_1 + a_0x_0 = f(n)\] 解这类方程通常需要找到齐次方程的通解加上一个特解。 **例1：求解递归方程** 考虑递归方程 \(x_k - 5x_{k-1} + 6x_{k-2} = 2^k\)。首先求解齐次方程 \(x_k - 5x_{k-1} + 6x_{k-2} = 0\) 的通解。特征方程为 \(λ^2 - 5λ + 6 = 0\)，解得特征根为 2, 3。通解为 \(x_k = A2^k + B3^k\)。设特解为 \(x_k = P2^k\)，代入原递归方程求得 \(P\) 后，最终解为 \(x_k = A2^k + B3^k + P2^k\)。 #### 三、生成函数法生成函数法是一种基于序列的生成函数来求解递归方程的方法。对于给定的序列 \(\{a_n\}\)，其生成函数为 \(A(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\)。 **例1：Hanoi塔问题** 考虑 Hanoi 塔问题的递归方程 \(a_n = 2a_{n-1} + 1\)，且已知 \(a_1 = 1\)。构造生成函数 \(A(x) = \sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\)，则有 \(A(x) = 2xA(x) + \frac{x}{1-x}\)。解得 \(A(x) = \frac{x}{(1-2x)(1-x)}\)。通过部分分式展开和幂级数展开可求得 \(a_n\) 的闭式表达式，进而得出 Hanoi 塔问题的时间复杂度为 \(O(2^n)\)。递归方程求解方法包括递推法、公式解法以及生成函数法等几种常用方法，每种方法都有其适用场景和独特优势。理解并掌握这些方法对于算法设计与分析至关重要。

这个问题属于数学问题，可以回答。根据主定理，f(n) = Θ(n^(logba)), 由于k≥1，所以 logk(n) ≥ 1，所以主递归有解T(n) = Θ(n^(logba) logk(1n)) = Θ(n(logba)logk(n))。

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如果f (n) = Θ（n log𝑏𝑎logk𝑛），其中k≥1，则主递归有解T (n) = Θ（n log𝑏𝑎logk+1𝑛）

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