请设计一个时间复杂度为 Θ(lg n) 的算法,求解满足如下递推关系的第 n 项: fn = 3 × f(n−1) + 4 × f(n−3) + 2 × f(n−4)
时间: 2023-12-26 11:04:39 浏览: 29
我们可以使用矩阵快速幂的方法来解决这个问题。首先,将递推式转化为矩阵形式:
\begin{bmatrix} f(n) \\ f(n-1) \\ f(n-2) \\ f(n-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} f(n-1) \\ f(n-2) \\ f(n-3) \\ f(n-4) \end{bmatrix}
我们可以通过递归地将这个矩阵相乘,来快速地求得第 n 项。具体地,我们可以使用以下的递归式:
\begin{align*} & \begin{bmatrix} f(n) \\ f(n-1) \\ f(n-2) \\ f(n-3) \end{bmatrix} = A^{n-3} \begin{bmatrix} f(3) \\ f(2) \\ f(1) \\ f(0) \end{bmatrix} \\ & \begin{bmatrix} f(3) \\ f(2) \\ f(1) \\ f(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 37 \\ 10 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix} \end{align*}
其中 A 是递推矩阵,即:
$$ A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$
该递归式的时间复杂度为 Θ(lg n),因为我们将 n 次操作分成了两部分:首先,我们需要计算 A 的 n-3 次方,这需要 Θ(lg n) 次操作;然后,我们需要将 A 的 n-3 次方与一个 4 维向量相乘,这需要 Θ(1) 次操作。因此,总的时间复杂度为 Θ(lg n)。