计算机图形学 绕x轴旋转45°，再绕旋转后的坐标系的y轴旋转15°，组合的变换矩阵是什么？

计算机图形学中的绕轴旋转通常涉及到旋转变换矩阵。首先绕X轴旋转45度，然后绕新的Y轴（实际上是旋转后的Z轴）旋转15度，可以分为两步：

1. 绕X轴旋转45度：我们可以将这个旋转视为绕原点O的一个二维旋转。对于绕X轴正向旋转θ（这里是45度），对应的旋转矩阵R_x(45°)是一个特殊的斜对角线矩阵，其形式为：

   | cos(θ) -sin(θ) |
   | sin(θ)  cos(θ) |

对于45度，cos(45°) = sin(45°) = √2 / 2。

2. 绕新Y轴旋转15度：因为X轴已经旋转了45度，所以新Y轴实际上是原来的Z轴，即绕垂直轴（Z轴）。这个旋转矩阵R_z(15°)，也是绕原点的，形式为：

   | cos(θ) 0 -sin(θ) |
   | 0       1      0     |
   | sin(θ) 0  cos(θ)  |

其中，对于15度，cos(15°) ≈ 0.9659，sin(15°) ≈ 0.2588。

组合这两个旋转矩阵，你需要先应用第一个旋转，然后再应用第二个。顺序很重要，因为矩阵乘法代表连续应用变换。所以总变换矩阵M为：

M = R_z(15°) * R_x(45°)

计算实际矩阵会有些复杂，但结果会是个3x3的复数矩阵。如果你需要精确的数值结果，建议使用数学软件或在线计算器来进行计算。

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#### 引用[.reference_title]
- *1* *2* *3* [详解坐标变换矩阵 - 绕 x 轴旋转的旋转矩阵](https://blog.csdn.net/jiesunliu3215/article/details/129733910)[target="_blank" data-report-click={"spm":"1018.2226.3001.9630","extra":{"utm_source":"vip_chatgpt_common_search_pc_result","utm_medium":"distribute.pc_search_result.none-task-cask-2~all~insert_cask~default-1-null.142^v93^chatsearchT3_2"}}] [.reference_item style="max-width: 100%"]
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平面直角坐标系中的旋转公式_绕轴旋转矩阵

在平面直角坐标系中，一个点 $(x,y)$ 绕原点逆时针旋转 $\theta$ 角度后得到的新点为 $(x',y')$，其中：

$$
\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}
$$

这就是绕轴旋转矩阵，其中 $\cos \theta$ 和 $\sin \theta$ 分别是角度 $\theta$ 的余弦和正弦值。这个公式可以用来计算任意点绕原点的旋转后的坐标。如果要将点 $(x,y)$ 绕点 $(a,b)$ 逆时针旋转 $\theta$ 角度，则可以先将点 $(x,y)$ 平移至原点，旋转后再将点平移回去，即：

$$
\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-a \\ y-b \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}
$$

其中 $(a,b)$ 是旋转的中心点。