请编写函数在递增的整数序列链表中插入一个新整数

### 回答1：
以下是一个示例函数，用于在递增的整数序列链表中插入一个新整数：

def insert_increasing_list(head, new_val):
    """
    在递增的整数序列链表中插入一个新整数
    :param head: 链表头节点
    :param new_val: 新整数
    :return: 插入新整数后的链表头节点
    """
    # 如果链表为空，直接将新整数作为头节点返回
    if not head:
        return ListNode(new_val)

    # 如果新整数比头节点小，将新整数作为头节点返回
    if new_val < head.val:
        new_head = ListNode(new_val)
        new_head.next = head
        return new_head

    # 遍历链表，找到新整数应该插入的位置
    cur = head
    while cur.next and cur.next.val < new_val:
        cur = cur.next

    # 将新整数插入到链表中
    new_node = ListNode(new_val)
    new_node.next = cur.next
    cur.next = new_node

    return head

该函数接受两个参数：链表头节点和新整数。如果链表为空，直接将新整数作为头节点返回；如果新整数比头节点小，将新整数作为头节点返回；否则，遍历链表，找到新整数应该插入的位置，然后将新整数插入到链表中。最后返回链表头节点。

### 回答2：
这道题需要我们编写一个函数，在给定的递增的整数序列链表中插入一个新的整数。 在解答这道问题时，我们需要明确一些前提条件：

1. 链表中的数据是递增的；

2. 新插入的整数也是递增的。

给定这些前提条件，我们可以根据链表的特性来编写插入函数，具体细节如下。

首先，我们需要定义链表节点的结构体，由于节点存储整数，结构体需要包含一个整数成员变量和一个指向后继节点的指针：

struct ListNode {
    int val;
    ListNode *next;
    ListNode(int x) : val(x), next(NULL) {}
};

接着，我们定义插入函数:

ListNode* insert(ListNode* head, int x) {
    if (head == NULL || x < head->val) {
        ListNode* newNode = new ListNode(x);
        newNode->next = head;
        return newNode;
    }
    ListNode* curr = head;
    while (curr->next != NULL && curr->next->val < x) {
        curr = curr->next;
    }
    ListNode* newNode = new ListNode(x);
    newNode->next = curr->next;
    curr->next = newNode;
    return head;
}

这个函数的实现使用了类似于插入排序的思想，从链表头开始逐个遍历节点，如果遍历到的当前节点的值比插入值小，则继续遍历下一个节点，直到找到一个节点的值大于等于插入值或遍历到链表末尾。然后新建一个节点，把它插入到当前节点的后面，更新链表指针，然后返回链表头指针。

在插入操作完成后，整个链表仍然保持递增有序的特性，所以我们可以用类似于插入排序的思想来解题，在遍历链表的过程中，逐步在适当的位置插入新节点。这样时间复杂度为 $O(n)$，因为遍历整个链表需要 $n$ 次，其中 $n$ 是链表的长度，实现起来也非常简单。

以上就是在递增的整数序列链表中插入一个新整数的函数的一种实现方式。

### 回答3：
要在递增的整数序列链表中插入一个新整数，我们需要编写一个能够完成以下功能的函数：

1. 遍历整个链表，找到新整数需要插入的位置。
2. 将新整数插入到链表中相应的位置处。

下面是一个简单的 Python 代码示例，可以实现上述功能：

class ListNode:
    def __init__(self, val=0, next=None):
        self.val = val
        self.next = next

def insert_num(head, new_num):
    if not head:
        # 如果链表为空，直接创建一个新节点作为头节点。
        head = ListNode(new_num)
    elif new_num < head.val:
        # 如果新数比头节点的值还小，将新数插入到头节点的前面，成为新的头节点。
        new_node = ListNode(new_num, head)
        head = new_node
    else:
        # 遍历链表，找到新数的插入位置。
        curr_node = head
        while curr_node.next and new_num > curr_node.next.val:
            curr_node = curr_node.next

        # 将新数插入到链表中相应的位置处。
        new_node = ListNode(new_num, curr_node.next)
        curr_node.next = new_node

    return head

在上述代码中，我们先定义了一个 ListNode 类来表示链表中的节点，其中每个节点包含一个值和一个指向下一个节点的指针。然后，我们定义了一个名为 insert_num 的函数，该函数接受两个参数：链表的头节点 head 和要插入的新整数 new_num。函数会根据新数的大小，将其插入到链表中合适的位置处。

首先，我们判断链表是否为空。如果是，直接将新数创建为新的头节点。如果新数比头节点的值还小，将新数插入到头节点的前面，成为新的头节点。

如果链表不为空且新数比头节点的值大，我们开始遍历整个链表，找到新数的插入位置。遍历过程中，我们使用一个指针 curr_node 来标记当前节点，如果新数比当前节点的值大，就一直向后遍历。当遍历到链表的末尾或者找到插入位置时，就退出循环。

最后，我们将新数插入到链表中相应的位置处。具体来说，我们创建一个新节点 new_node，其值为 new_num，next 指针指向 curr_node 的下一个节点。然后，将 curr_node 的 next 指针指向新节点，实现新数的插入操作。

最后，我们返回更新后的链表头节点 head。