定义一个辅助函数,输入满足如下条件: ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) 且 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i 式中,α_0是一个经验常数,m_i是列车的质量。
时间: 2024-02-18 19:04:36 浏览: 25
好的,这里是一个Python的实现:
```python
def helper_func(u, w, beta, m, alpha_0):
delta = u - w
dot_beta = (-alpha_0/m) * beta + (delta/m)
return dot_beta
```
这个函数的输入是u、w、beta、m和alpha_0,分别表示公式中的u_i(t)、w_i(t)、β_i(t)、m_i和α_0。输出是β̇_i(t),也就是dot_beta。函数先计算∆_i(t),然后根据公式计算β̇_i(t)。
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定义一个辅助函数,输入满足如下条件: ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) 且 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i 式中,α_0是一个经验常数,m_i是列车的质量。
好的,根据您的要求,您想定义一个辅助函数,用于计算列车滑模控制器的误差和控制器的动态响应。具体来说,您想定义一个函数,该函数的输入是列车速度误差$\Delta_i(t)$,控制器输出$u_i(t)$和物理系统的状态变量$w_i(t)$,输出是控制器的动态响应$\beta_i(t)$。该函数的动态方程为:
$\beta ̇_i (t)=-\frac{α_0}{m_i} \beta_i (t)+\frac{\Delta_i (t)}{m_i}$
其中,$\alpha_0$是一个经验常数,$m_i$是列车的质量。
为了实现这个函数,您可以按照以下步骤进行:
1. 定义函数名和输入参数列表:
```
function beta_dot = helper_function(Delta_i, u_i, w_i, alpha_0, m_i)
```
其中,`Delta_i`是列车速度误差,`u_i`是控制器输出,`w_i`是物理系统的状态变量,`alpha_0`是经验常数,`m_i`是列车质量。
2. 在函数中计算控制器的动态响应$\beta_i(t)$:
```
beta_dot = -alpha_0/m_i * beta_i + Delta_i/m_i;
```
其中,`beta_i`是控制器的动态响应。
3. 将计算结果作为函数的输出:
```
end
```
这个函数可以计算列车滑模控制器的动态响应,并且考虑了列车速度误差和控制器输出的影响。如果您需要更加详细的实现细节,请告诉我。
定义一个辅助函数,输入满足如下条件: ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) (4-2) 且有 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i (4-3) 式中,α_0是一个经验常数,m_i是列车的质量。 定义一个函数如下 p_i=σ_i-β_i (4-4) 所以有 p_i=k_i e_i+e ̇_i-β_i (4-5) 为确保系统稳定,选取Lyapunov函数,证明系统的稳定性,Lyapunov函数如下: Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙〗 p_i (4-5)
以下是一个 Python 函数的实现,它可以计算 ∆_i (t) 和 p_i:
```
def calculate_delta(u_i, w_i):
return u_i - w_i
def calculate_p(sigma_i, beta_i, k_i, e_i, e_dot_i):
return sigma_i - beta_i - k_i * e_i - e_dot_i
```
为了证明系统的稳定性,我们可以选择 Lyapunov 函数作为能量函数,并证明它在时间上是单调递减的。根据公式(4-5),我们可以定义 Lyapunov 函数 Y:
```
def lyapunov_function(m_i, p_i):
return sum([m_i[i] / 2 * p_i[i] ** 2 for i in range(len(m_i))])
```
我们需要证明,对于所有 t > 0,Lyapunov 函数 Y 的导数小于或等于零,即 dY/dt ≤ 0。根据公式(4-3)和(4-4),我们可以得到:
```
dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙(∆_i (t)/m_i + α_0/m_i ∙β_i (t))^2 - σ_i ∙ (∆_i (t)/m_i + α_0/m_i ∙β_i (t)) - k_i ∙ e_i ∙ β_i (t) - e_dot_i ∙ β_i (t)〗
```
我们可以将上述等式化简为:
```
dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙(∆_i (t)/m_i)^2 - σ_i ∙ (∆_i (t)/m_i) + (α_0/m_i) ∙ (∆_i (t) ∙ β_i (t)) - (α_0/m_i) ∙ (β_i (t))^2 - k_i ∙ e_i ∙ β_i (t) - e_dot_i ∙ β_i (t)〗
```
我们可以将上述等式进一步化简,得到:
```
dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙(∆_i (t)/m_i)^2 - σ_i ∙ (∆_i (t)/m_i) - (p_i)^2 - e_dot_i ∙ β_i (t)〗
```
我们可以发现,上述等式中的每一项都是非负数。因此,我们可以得出结论,Lyapunov 函数 Y 的导数小于或等于零,即 dY/dt ≤ 0,证明了系统的稳定性。