一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角。机器人每次只能向下或者向右移动一步。要计算总共有多少条不同的路径，可以使用动态规划的方法。我们定义一个 m x n 的二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示从起点到达网格的第 i 行第 j 列的位置的不同路径数。根据题目要求，当 i=0 或 j=0 时，机器人只能直走，所以 dp[i][j] 的值均为 1。对于其他位置，dp[i][j] 的值可以通过 dp[i-1][j] 和 dp[i][j-1] 的值相加得到，即 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。最终，dp[m-1][n-1] 就是到达终点的不同路径数。以下是具体步骤：

1. 创建一个 m x n 的二维数组 dp，初始化所有位置的值为 0。
2. 遍历第一行和第一列，将 dp[i] 和 dp[j] 的值初始化为 1。
3. 从第二行开始，从左到右，从上到下遍历网格。对于每个位置 dp[i][j]，根据递推关系 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1] 计算得到。
4. 最终，dp[m-1][n-1] 就是到达终点的不同路径数。

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一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 (起始点在下图中标记为“start” )。 机

器人每次只能向下或者向右移动一格，直到到达右下角的终点（下图中标记为“end”）。现在给定了一些障碍物用 1 来表示，机器人不能通过。请问机器人能否到达终点？

这是一道动态规划问题。我们可以定义一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示机器人到达(i, j)这个位置是否可行（1 表示可行，0 表示不可行）。那么我们需要先初始化 dp 数组：

- 如果起点 (0, 0) 有障碍物，dp[0][0] = 0;
- 否则，dp[0][0] = 1;
- 对于第一行和第一列，如果前一个格子可行并且当前格子没有障碍物，那么当前格子也可行，即 dp[0][j] = dp[0][j-1] && obstacleGrid[0][j] = 0，dp[i][0] = dp[i-1][0] && obstacleGrid[i][0] = 0;
- 对于其他格子 (i, j)，如果当前格子没有障碍物，那么机器人到达当前格子的路径有两种可能：从上面的格子到达或者从左边的格子到达。即 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。

最终，dp[m-1][n-1] 就表示了机器人能否到达终点。如果 dp[m-1][n-1] 为 1，那么可以到达终点；否则不能到达。

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角，机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角，问总共有多少条不同的路径？用c++代码实现

这是一个经典的动态规划问题。假设网格的左上角为起点，右下角为终点，那么机器人只能往右或往下走，因此到达终点的路径只能是从上方的格子或左边的格子过来的。设 $dp[i][j]$ 表示从起点到网格中第 $i$ 行第 $j$ 列格子的不同路径数，则有状态转移方程：

$$dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]$$

边界条件为 $dp[0][j] = 1$ 和 $dp[i][0] = 1$，因为从起点出发到达第一行和第一列的任意格子只有一种路径。最终结果为 $dp[m-1][n-1]$。

以下是 C++ 代码实现：

int uniquePaths(int m, int n) {
    vector<vector<int>> dp(m, vector<int>(n, 1)); // 初始化为1
    for(int i = 1; i < m; i++) {
        for(int j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
        }
    }
    return dp[m-1][n-1];
}