在一个2 k ∗2 k （k为正整数，k<=10，length=2 k ）个方格组成的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格（其坐标为a,b，分别代表行坐标号和列坐标号），以及有四种l型骨牌（如下图）。求用若干块这种l型骨牌实现除该特殊点棋盘的全覆盖。（本题要求采用分治算法做）

### 回答1：
题目描述：

在一个 $2^k \times 2^k$ 的棋盘中，恰有一个方格与其他方格不同，称该方格为一特殊方格（其坐标为 $a,b$，分别代表行坐标号和列坐标号），以及有四种 L 型骨牌（如下图）。求用若干块这种 L 型骨牌实现除该特殊点棋盘的全覆盖。（本题要求采用分治算法做）

解题思路：

本题可以采用分治算法来解决。具体思路如下：

1.将棋盘分成四个等分的子棋盘，分别为左上、右上、左下、右下。

2.判断特殊方格在哪个子棋盘中，分别对该子棋盘进行递归处理。

3.对于每个子棋盘，先判断是否只有一个方格，如果是，则直接用一块 L 型骨牌覆盖该方格即可。

4.如果不止一个方格，则先用一块 L 型骨牌覆盖特殊方格所在的位置，然后将该子棋盘的其他方格分成三个部分：上部、下部和右侧。对于上部和下部，可以用两块 L 型骨牌覆盖；对于右侧，可以用一块 L 型骨牌覆盖。然后对于左上、右上、左下、右下四个子棋盘分别进行递归处理。

5.递归结束条件为棋盘只有一个方格。

代码实现：

下面是 Python 代码实现：

### 回答2：
题目要求用l型骨牌实现除了特殊点以外的全覆盖，我们可以先思考一下用l型骨牌是否可以实现全覆盖。显然，由于l型骨牌本身就是由三个方块组成的，而棋盘中的方块数也是三的倍数，因此如果l型骨牌能够实现全覆盖，那么必定是刚好用了全部的l型骨牌。因此，我们可以设想一下如何用尽可能少的l型骨牌实现全覆盖。

我们可以将棋盘分成四个方块，每个方块的大小都是2^(k-1)*2^(k-1)，并且每个方块都包含了一个特殊点。因此，我们只需要分别将这四个方块用l型骨牌覆盖即可。为了方便，我们可以将这四个方块按照从左到右、从上到下的顺序分别命名为A、B、C、D。

接下来考虑如何用l型骨牌实现对A区域的全覆盖。如果我们能够覆盖A区域，那么B、C、D区域的覆盖方式也就随之而来了。显然，特殊点a,b只会出现在A或者C区域，因此我们只需要考虑A、C区域的情况即可。考虑将A区域分成四等份，如下图所示：

+-----+-----+
| C_1 | D_1 |
+-----+-----+
| B_1 | A_1 |
+-----+-----+

这时候我们可以发现，如果能够用l型骨牌覆盖A_1、B_1、C_1三个子区域，那么D_1区域也一定会被覆盖。这是因为D_1区域只能通过向上或者向左移动l型骨牌来覆盖，而移动骨牌的同时会产生新的空缺，而这个新的空缺不可能被覆盖。因此，只要A_1、B_1、C_1三个子区域中的任意一个不能被覆盖，那么整个A区域就不能被覆盖。

接下来考虑如何用l型骨牌覆盖A_1、B_1、C_1三个子区域。我们可以发现，按照下图所示的方式将A_1子区域再次分成四个子区域：

+-----+-----+
| C_2 | D_2 |
+-----+-----+
| B_2 | A_2 |
+-----+-----+

+-----+-----+
| C_3 | D_3 |
+-----+-----+
| B_3 | A_3 |
+-----+-----+

+-----+-----+
| C_4 | D_4 |
+-----+-----+
| B_4 | A_4 |
+-----+-----+

这时候你也许会想到采用递归的方式解决问题，也就是先覆盖A_4、B_4、C_4三个子区域，然后再依次覆盖A_3、B_3、C_3、A_2、B_2、C_2的子区域，直到最后覆盖完整个A_1子区域。这样做的复杂度比较好计算，每次递归都将区域分成四个子区域，并且每个子区域的大小是原来的1/4，因此总的复杂度是O(4^k)。

但是，事实上我们可以采用更巧妙的方法来实现全覆盖。具体地，我们考虑将A_1、B_1、C_1三个子区域中的一个（假设是B_1区域）分成两部分，如下图所示：

+-----+-----+
| C_1 | D_1 |
+-----+-----+
| B_2 |     |
+-----+-----+
| B_1'|
+-----+

这时候，我们可以先用l型骨牌覆盖A_1、C_1、D_1三个子区域（具体方式不再赘述），然后再覆盖B_2、B_1'两个子区域。由于B_1、B_2、B_1'三个子区域的大小之和等于原来的B_1子区域的大小，因此我们可以采用递归的方式继续解决局部问题，直到每个子区域的大小都变成1*1为止。这样做的复杂度比较难计算，但是实际上非常优秀，实际运行速度很快。

总结一下，我们可以采用如下算法实现全覆盖：

1. 将棋盘按照左上、右上、左下、右下的顺序分成四个方块，分别用l型骨牌覆盖。

2. 要实现对左上方块的全覆盖，将左上块按照左上、右上、左下、右下的顺序分成四个子区域，将其中一块（比如左下）再次按照同样的方式分成四个子区域，然后依次用l型骨牌覆盖即可。

3. 递归地重复步骤2，直到覆盖完整张棋盘。

计算复杂度时，可以发现步骤1的复杂度是O(1)，步骤2的复杂度是O(k^2)，步骤3的复杂度是O(k^2logk)，因此总的复杂度是O(k^2logk)。这样做的时间效率非常高，能够在k<=10的范围内迅速完成计算。

### 回答3：
首先，我们可以将这个棋盘划分成四个大小相等的子棋盘。因为每个L型骨牌都覆盖三个方格，而这个棋盘中除了特殊方格外，每个方格都需要被覆盖。因此，我们可以预先将特殊方格所在的子棋盘确定下来，然后分别对其它三个子棋盘进行求解。

接下来，我们要考虑在一个子棋盘中，如何用L型骨牌来实现覆盖。因为这个棋盘的大小是2^k * 2^k，所以我们可以将子棋盘划分成四个大小为2^(k-1) * 2^(k-1)的子棋盘。这个棋盘上的特殊方格所在的子棋盘将会是其中一个大小为2^(k-1) * 2^(k-1)的子棋盘。因为该子棋盘的大小仍然是2的幂次方，所以我们可以采用递归的方式对其进行求解。

在一个大小为2^m * 2^m（m<=k）的棋盘中，我们可以首先将其中的一个L型骨牌放在该棋盘的最中心。这个骨牌会覆盖中心的三个方格。然后，我们将该棋盘分成四个大小相等的子棋盘。接下来，我们在这四个子棋盘中，选择其中三个子棋盘来放置剩下的三个L型骨牌，而第四个子棋盘则可以通过递归再次进行求解。那么，到底应该选择哪三个子棋盘来放置这三个骨牌呢？

我们可以将这个问题转化为一个覆盖问题。也就是说，对于一个大小为2^m * 2^m的棋盘，我们假设它还需要被覆盖的方格集合为S。那么，我们可以首先将这个棋盘的最中心的三个方格从S中去除。接下来，我们可以将这个棋盘划分成四个大小相等的子棋盘A、B、C、D。然后，我们假设S被划分成了S_A，S_B，S_C，S_D四个子集。我们接下来需要考虑如何分别在A、B、C三个子棋盘中放置三个L型骨牌，使得它们可以覆盖掉子集S_A、S_B、S_C。那么，我们一个一个进行判断：

1. 这三个骨牌放在A、B、C中，然后递归求解D子棋盘
2. 这三个骨牌放在B、C、D中，然后递归求解A子棋盘
3. 这三个骨牌放在C、D、A中，然后递归求解B子棋盘
4. 这三个骨牌放在D、A、B中，然后递归求解C子棋盘

如果在任意一个子棋盘中，我们无法放置其中一个骨牌来覆盖该子集，那么就说明这个问题无解。否则，我们就可以分别在三个子棋盘中放置对应的骨牌，然后递归求解剩下的子棋盘。对于这个子棋盘，我们可以将它的特殊方格所在的子集再次递归求解，直到棋盘大小为1时结束。

总结起来，我们可以采用分治算法来求解这个问题。首先，我们找到棋盘中特殊方格所在的子棋盘，然后对其它三个子棋盘分别求解。对于一个子棋盘，我们可以递归地将它分成四个大小相等的子棋盘，然后依次尝试在三个子棋盘中放置L型骨牌，然后递归地求解剩下的子棋盘。如果最后发现该问题无解，则递归返回上一级。通过这个算法，我们可以在O(N^2)的时间复杂度内求解该问题。