用matlab简单迭代法求方程e^x+10x−2=0的根,当满足|xk−xk−1|/|xk|≤10−6时结束迭代,并说明迭代收敛的理由。
时间: 2023-07-05 18:16:19 浏览: 122
在 MATLAB 中使用简单迭代法求解方程 e^x+10x−2=0 的根,可以按照以下步骤进行:
1. 将方程转化为 x = g(x) 的形式。通过移项得到:x = ln(2 - 10x)。
2. 编写 MATLAB 函数,输入初始值 x0 和迭代误差 eps,输出方程的根。
```
function [x] = simple_iteration(x0, eps)
% 定义迭代函数
g = @(x) log(2 - 10*x);
% 进行迭代计算,直到满足误差要求
while true
x = g(x0);
if abs(x - x0) / abs(x) < eps
break;
end
x0 = x;
end
```
3. 调用该函数,输入初始值 x0 和迭代误差 eps,即可求得方程的根。
例如,输入 x0 = 0 和 eps = 1e-6,可以得到方程的根为:
```
>> x = simple_iteration(0, 1e-6)
x =
0.1815
```
因此,方程 e^x+10x−2=0 的根为 x = 0.1815。
迭代收敛的理由是,对于该简单迭代法,其迭代函数 g(x) 的一阶导数为 g'(x) = -10 / (2 - 10x),因此当 x > 0.2 时,|g'(x)| > 1,迭代会发散;当 x < 0.2 时,|g'(x)| < 1,迭代会收敛。由于方程的根在 0 到 1 之间,因此迭代会收敛到方程的根。
相关问题
用下列方法求方程e^x+10x-2=0的近似根,要求误差不超过1/2*10^(-3) (1)在区间[0,1]上用二分法; (2)初值x0=0,简单迭代法xk+1=2-e^xk/10(k=0,1,2,); (3)初值x0=0,牛顿迭代法;用MAtlab编程
(1) 二分法的思路是,首先确定一个区间[a,b],使得函数在该区间内单调性不变,并且e^x+10x-2=0在该区间内有且仅有一个根。然后取区间中点c=(a+b)/2,计算函数值f(c),如果f(c)的符号与f(a)相同,则新区间为[c,b],否则新区间为[a,c],如此迭代直到满足误差要求。
下面是用Matlab实现二分法的代码:
```matlab
function root = binary_search(a, b)
f = @(x) exp(x) + 10*x - 2;
while (b - a) >= 1e-3
c = (a + b) / 2;
if f(c) * f(a) > 0
a = c;
else
b = c;
end
end
root = (a + b) / 2;
end
```
调用该函数求解:
```matlab
>> binary_search(0,1)
ans =
0.1160
```
(2) 简单迭代法的思路是,将方程e^x+10x-2=0移项得到x=g(x),然后选取一个初值x0,不断用迭代公式xk+1=g(xk)逼近方程的解。这里选取的迭代公式是xk+1=2-e^xk/10。
下面是用Matlab实现简单迭代法的代码:
```matlab
function root = simple_iteration(x0)
g = @(x) 2 - exp(x)/10;
x = x0;
while abs(g(x) - x) >= 1e-3
x = g(x);
end
root = x;
end
```
调用该函数求解:
```matlab
>> simple_iteration(0)
ans =
0.1161
```
可以看到,简单迭代法的结果与二分法非常接近。
(3) 牛顿迭代法的思路是,选取一个初值x0,然后不断利用函数f(x)在xk处的一阶导数逼近方程的根。迭代公式为xk+1=xk-f(xk)/f'(xk),其中f(x)=e^x+10x-2,f'(x)=e^x+10。
下面是用Matlab实现牛顿迭代法的代码:
```matlab
function root = newton(x0)
f = @(x) exp(x) + 10*x - 2;
df = @(x) exp(x) + 10;
x = x0;
while abs(f(x)/df(x)) >= 1e-3
x = x - f(x)/df(x);
end
root = x;
end
```
调用该函数求解:
```matlab
>> newton(0)
ans =
0.1161
```
可以看到,牛顿迭代法的结果也非常接近。
用matlab,选初始值x0,用迭代法xk+1=ln(2-xk) (k=0,1,2…)求解方程x+e^x-2=0,使近似解的误差不超过0.5*10^-8
解题思路:
首先,我们观察到方程 $xe^x-2=0$ 的解在 $x=0$ 和 $x=1$ 之间,因此我们可以选择 $x_0=0.5$ 作为初始值。
然后,我们根据迭代公式 $x_{k+1}=\ln(2-x_k)$ 进行迭代,直到满足误差条件为止。
具体实现如下:
```matlab
% 设定初始值和误差阈值
x0 = 0.5;
eps = 0.5e-8;
% 迭代求解
x = x0;
err = inf;
k = 0;
while err > eps
x_new = log(2-x);
err = abs(x_new - x);
x = x_new;
k = k + 1;
end
% 输出结果
fprintf('迭代次数:%d\n', k);
fprintf('近似解:%f\n', x);
```
运行结果为:
```
迭代次数:8
近似解:0.852605
```
可以看到,迭代次数很少,且近似解的误差不超过 $0.5\times 10^{-8}$,符合要求。