已知连续函数f(x)满足∫e-xf(x)dx=ln(e2x -1)+C,则∫f(x)dx= (x-1) x -2x 已知连续函数()满足f(x),()x2(3 3),则 . F(x) x→0x ∫ 15. fx lim =AFx=tfx-tdtlim- . +3=

对于第一个问题，我们可以直接利用反函数的性质，即有：

∫e^-xf(x)dx = ln(e^2x - 1) + C

对其两边同时求导，并利用链式法则，可得：

-e^-xf(x) = (2e^2x)/(e^2x - 1)

将其化简，可得：

f(x) = (2e^x)/(e^x - e^-x)^2

现在我们来计算∫f(x)dx，可以将其分解为：

∫f(x)dx = ∫(2e^x)/(e^x - e^-x)^2 dx

令u = e^x - e^-x，则有du/dx = e^x + e^-x，dx = du/(e^x + e^-x)

将u代入原式并化简，可得：

∫f(x)dx = ∫(2/u^2) du = -2/u + C'

代回u=e^x - e^-x，可得：

∫f(x)dx = -2/(e^x - e^-x) + C'

对于第二个问题，由于f(x)在区间[3,3]上连续，因此在该区间上有界。又因为f(x)在该区间上单调递减，因此有：

3f(3) ≥ ∫3^2 f(x)dx ≥ 3f(3)

即：

3f(3) ≥ ∫9 f(x)dx ≥ 3f(3)

进一步化简可得：

f(3) ≥ (1/3)∫9 f(x)dx ≥ f(3)

由于极限的保号性，因此有：

lim x→0+ ∫15 f(x)dx ≥ lim x→0+ (1/3)∫9 f(x)dx ≥ lim x→0+ f(3)

又因为f(x)在0附近连续，因此有：

lim x→0+ f(x) = f(0)

代入上式可得：

lim x→0+ ∫15 f(x)dx ≥ lim x→0+ (1/3)∫9 f(x)dx ≥ f(3)

lim x→0+ ∫15 f(x)dx - (1/3)∫9 f(x)dx ≥ f(3)

接下来，我们需要计算lim x→0+ ∫5 (f(x+t)-f(t))dt。

由于f(x)在0附近连续，因此对于任意ε>0，存在δ>0，使得当0<x<δ时，有：

|f(x)-f(0)| < ε

因此，当0<x<δ时，有：

|∫5 (f(x+t)-f(t))dt| ≤ ε ∫5 dt = 5ε

即lim x→0+ ∫5 (f(x+t)-f(t))dt = 0

将其代入原式可得：

lim x→0+ (∫15 f(x)dx - (1/3)∫9 f(x)dx) = f(3)

因此：

lim x→0+ ∫15 f(x)dx = (4/3)f(3)

代回原式可得：

lim x→0+ (∫15 f(x)dx + 3) = (7/3)f(3)

因此：

A = (7/3)