如何使用Python编程求解函数f(x) = 5x^3 + 2x^2 - 3x的单调区间、极值点、凹凸区间以及拐点？

在Python中，我们可以使用数值计算库如SymPy来处理这类数学问题。首先，我们需要安装`sympy`库，然后导入它并定义函数f(x)：

from sympy import symbols, diff, solve, S

# 定义变量和函数
x = symbols('x')
f_x = 5*x**3 + 2*x**2 - 3*x

接下来，我们分析函数的性质：

1. **单调区间**：
我们需要计算导数f'(x)，如果导数大于0，函数递增；小于0，函数递减。我们找出导数等于0的根（拐点），这是函数变化的转折点：

   f_prime_x = diff(f_x, x)
   critical_points = solve(f_prime_x, x)

使用`f_prime_x > 0`和`f_prime_x < 0`来确定单调区间：

   intervals = [(a, b) for a, b in zip(sorted(critical_points), sorted(critical_points[1:] + [S.Infinity])) if f_prime_x.subs(x, a) * f_prime_x.subs(x, b) < 0]

2. **极值点**：
极值点包括局部极大值和局部极小值，它们出现在导数改变符号的地方，即拐点。我们可以使用二阶导数测试验证这些点是否是极值点：

   f_double_prime_x = diff(f_prime_x, x)
   extrema = []
   for point in critical_points:
       if f_double_prime_x.subs(x, point) > 0:
           extrema.append(('local minimum', point))
       elif f_double_prime_x.subs(x, point) < 0:
           extrema.append(('local maximum', point))

3. **凹凸区间**：
函数在凹区时其二阶导数大于0，在凸区则二阶导数小于0。同样，遍历刚才找到的区间判断：

   concavity_intervals = [(a, b) for (status, a), (next_status, b) in zip(extrema[:-1], extrema[1:]) if f_double_prime_x.subs(x, a) * f_double_prime_x.subs(x, b) > 0 and status != next_status]

最后，打印结果：

print("单调区间:", intervals)
print("极值点:", extrema)
print("凹凸区间:", concavity_intervals)