ADMM算法的分裂算法求解 1/2(x-1)^2+x的最小值，matlab编程

ADMM（交替方向乘子法）是一种常用的优化算法，常用于解决大型线性或非线性约束优化问题。对于非凸函数如你提到的1/2*(x-1)^2 + x，我们可以将其转化为等式约束形式，然后使用ADMM来求解。

首先，将目标函数改写成等式约束的形式：
minimize f(x) = 0.5 * (x - 1)^2 + x
subject to g(x) = x - 1 = 0

在这个例子中，g(x)是一个简单的线性函数，可以直接作为辅助变量。接下来，我们按照ADMM步骤进行：

1. 初始化：选择初始值x^0，z^0，α（通常是正数），设置迭代次数。
2. 主循环：
a. 更新x：x^{k+1} = prox_{αf}(x^k + αz^k)，prox操作表示Fenchel对偶的投影，对于这个二次函数，它简化为软阈定理：x^{k+1} = clip(x^k + αz^k, lower_bound, upper_bound)，其中lower_bound和upper_bound是函数的限制范围。
b. 更新z：z^{k+1} = z^k + x^{k+1} - x^k。
c. 更新μ：如果满足终止条件（通常检查残差或迭代次数达到预设值），则结束；否则更新μ(=α)并继续下一轮迭代。

以下是简单的MATLAB代码实现：

function [x_min, z, history] = admm_split_algorithm(f, g, x0, z0, alpha, max_iter)
    n = length(x0); % 假设输入向量长度为n
    x = x0;
    z = z0;
    mu = alpha;
    history = zeros(max_iter, 3);

    for iter = 1:max_iter
        x_new = soft_threshold(x + mu * z, mu);
        z_new = z + x_new - x;
        x = x_new;

        % 记录历史
        history(iter, :) = [iter, norm(g(x)), norm(z)];

        % 检查终止条件，例如残差足够小
        if norm(g(x)) < tol || iter == max_iter
            break;
        end
        mu = 2 * mu; % 可能需要调整这一步的步长策略
    end

    x_min = x;
end

% 函数soft_threshold计算软阈值操作
function x = soft_threshold(u, tau)
    x = u .* (abs(u) > tau) .- sign(u) .* tau;
end

这里假设tol是预设的残差容忍度。运行此程序会得到最小值对应的x值以及迭代过程中的一些信息。