一般迭代法及python实现

一般迭代法是一种数值计算方法，它通过反复迭代计算来逼近方程的根或最优解。它的基本思路是：从一个初始值开始，根据某种规律不断迭代更新，直到满足一定的条件为止。

下面以求解方程 $f(x) = 0$ 为例，介绍一般迭代法的思路和Python实现：

1. 初值设定：选定初始值 $x_0$，通常是根据经验或问题的性质取一个近似值。

2. 迭代公式：根据问题的特点，设计合适的迭代公式 $x_{n+1} = g(x_n)$，使得序列 $\{x_n\}$ 满足 $x_n \to x$，其中 $x$ 是方程 $f(x) = 0$ 的根。

3. 迭代计算：从初值 $x_0$ 开始，按照迭代公式计算出 $x_1, x_2, \cdots, x_n$，直到满足一定的条件为止。

4. 收敛性分析：根据迭代公式和初值的选择，分析迭代序列的收敛性和收敛速度。

下面是一般迭代法的Python实现：

def general_iteration_method(f, g, x0, eps=1e-6, max_iter=100):
    """
    一般迭代法求解方程 f(x) = 0
    :param f: 方程 f(x) = 0
    :param g: 迭代公式 x_{n+1} = g(x_n)
    :param x0: 初值
    :param eps: 精度要求，默认为 1e-6
    :param max_iter: 最大迭代次数，默认为 100
    :return: 方程的近似解
    """
    x = x0
    for i in range(max_iter):
        x_next = g(x)
        if abs(x_next - x) < eps:
            return x_next
        x = x_next
    raise ValueError("未达到精度要求")

其中，$f(x)$ 是方程 $f(x) = 0$ 的左侧函数，$g(x)$ 是迭代公式，$x0$ 是初始值，$eps$ 是精度要求，$max\_iter$ 是最大迭代次数。在实现中，通过循环计算迭代序列，直到满足精度要求为止。如果超过最大迭代次数仍未收敛，抛出异常。