cross_product 凸包检测

cross_product凸包检测是一种用于确定给定点集是否形成凸包的方法。凸包是一个多边形，其所有内部角度均小于180度。

cross_product凸包检测的基本思想是通过计算给定点集中相邻三个点的叉积，来检测这些点是否按照顺时针或逆时针顺序排列。若叉积结果全为正或全为负，则点集构成凸包；若叉积结果既包括正数又包括负数，则点集不构成凸包。

具体实现时，将给定的点集按照一定规定的顺序排列，如逆时针方向，然后取出任意三个相邻点构成一个子集。利用向量叉积的性质，计算这三个点的叉积并记录结果符号。遍历完所有相邻三个点后，检查记录的符号，若全为正数或全为负数，则点集构成凸包，否则不构成凸包。

除了上述方法，还可以使用Graham scan算法来实现凸包检测。该算法首先选择一个起点，并按照极角从小到大的顺序对点进行排序。然后维护一个栈，将前两个点入栈，并依次将后续点与栈顶两个点构成的向量进行叉积判断。若叉积结果为正，则将该点入栈；若叉积结果为负，则将栈顶元素出栈，直到栈顶两个点与当前点构成的向量叉积为正。最终，栈中的点就构成了凸包。

总之，cross_product凸包检测是一种简单有效的方法，可以判断给定点集是否为凸包。

相关问题

用C语言求解凸包的体积

凸包的体积可以使用三维向量叉积的方法来计算。具体步骤如下：

1. 选取一个点作为基准点，将凸包分解为若干个三角形。
2. 对于每个三角形，计算它所在平面的法向量，并将所有法向量相加。
3. 将所得到的法向量求模，再除以3，即可得到凸包的体积。

以下是一个求解凸包体积的C语言代码实现，其中假设凸包已经被存储在一个名为points的点集数组中，点的结构体定义为：

typedef struct {
    double x, y, z;
} Point3D;

代码实现如下：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

typedef struct {
    double x, y, z;
} Point3D;

double volume_of_convex_hull(Point3D *points, int n) {
    double volume = 0;
    Point3D base, v1, v2, cross_product;
    int i, j, k;

    // 选取第一个点作为基准点
    base = points[0];

    // 对于每个三角形，计算其对凸包体积的贡献
    for (i = 0; i < n - 2; i++) {
        v1.x = points[i + 1].x - base.x;
        v1.y = points[i + 1].y - base.y;
        v1.z = points[i + 1].z - base.z;
        v2.x = points[i + 2].x - base.x;
        v2.y = points[i + 2].y - base.y;
        v2.z = points[i + 2].z - base.z;
        cross_product.x = v1.y * v2.z - v1.z * v2.y;
        cross_product.y = v1.z * v2.x - v1.x * v2.z;
        cross_product.z = v1.x * v2.y - v1.y * v2.x;
        volume += base.x * cross_product.x + base.y * cross_product.y + base.z * cross_product.z;
    }

    // 将体积除以3，得到凸包的体积
    volume = fabs(volume) / 6.0;

    return volume;
}

int main() {
    // 假设有6个点构成的凸包
    Point3D points[] = {
        {0, 0, 0},
        {1, 0, 0},
        {0, 1, 0},
        {0, 0, 1},
        {1, 1, 0},
        {1, 0, 1},
    };
    int n = sizeof(points) / sizeof(points[0]);

    double volume = volume_of_convex_hull(points, n);
    printf("The volume of the convex hull is %.2f\n", volume);

    return 0;
}

该程序使用了叉积计算凸包的体积，最后输出凸包的体积。

凸包算法c++实现代码

以下是C++的凸包算法实现代码，使用的是Graham Scan算法：

#include <iostream>
#include <stack>
#include <algorithm>
using namespace std;

struct Point {
    int x, y;
};

// 求出两点之间的距离平方
int dist_square(Point p1, Point p2) {
    int x = p1.x - p2.x;
    int y = p1.y - p2.y;
    return x * x + y * y;
}

// 求出叉积
int cross_product(Point a, Point b, Point c) {
    int x1 = b.x - a.x;
    int y1 = b.y - a.y;
    int x2 = c.x - b.x;
    int y2 = c.y - b.y;
    return x1 * y2 - x2 * y1;
}

// 比较两点的极角大小
bool cmp(Point a, Point b) {
    int cp = cross_product(p0, a, b);
    if (cp > 0) return true;
    if (cp == 0 && dist_square(p0, a) < dist_square(p0, b)) return true;
    return false;
}

// Graham Scan算法
void convex_hull(Point points[], int n) {
    // 找出y坐标最小的点
    int ymin = points[0].y, min_idx = 0;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int y = points[i].y;
        if ((y < ymin) || (ymin == y && points[i].x < points[min_idx].x)) {
            ymin = y;
            min_idx = i;
        }
    }

    // 将y坐标最小的点放到首位
    swap(points[0], points[min_idx]);
    p0 = points[0];

    // 按极角从小到大排序
    sort(points + 1, points + n, cmp);

    // 构建凸包
    stack<Point> hull;
    hull.push(points[0]);
    hull.push(points[1]);
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        Point top = hull.top();
        hull.pop();
        while (hull.size() && cross_product(hull.top(), top, points[i]) <= 0) {
            top = hull.top();
            hull.pop();
        }
        hull.push(top);
        hull.push(points[i]);
    }

    // 输出凸包顶点
    while (!hull.empty()) {
        Point p = hull.top();
        cout << "(" << p.x << ", " << p.y << ")" << endl;
        hull.pop();
    }
}

int main() {
    Point points[] = {{0, 3}, {1, 1}, {2, 2}, {4, 4}, {0, 0}, {1, 2}, {3, 1}, {3, 3}};
    int n = sizeof(points) / sizeof(points[0]);
    convex_hull(points, n);
    return 0;
}

其中，`Point`结构体表示二维平面上的一个点，`dist_square`函数用于求出两点之间的距离平方，`cross_product`函数用于求出三点构成的向量的叉积，`cmp`函数用于排序，`convex_hull`函数实现了Graham Scan算法，`main`函数用于测试。