2矩阵相乘得到一个矩阵,已知其中一个和所成结果如何求另一个,请给出3种方法并给出实际
时间: 2024-02-09 13:07:10 浏览: 20
方法1:使用矩阵的逆矩阵求解。假设已知矩阵A和结果矩阵C,那么可以通过求解A的逆矩阵B来得到另一个矩阵B,满足B*C=A。但是要注意,矩阵A必须是可逆的,即行列式不为0。
方法2:使用高斯-约旦消元法。将A和C合并成[A|C]的增广矩阵,然后对其进行高斯-约旦消元,得到一个新的增广矩阵[B|D]。其中B即为另一个矩阵,满足B*C=A。这种方法适用于A不是方阵的情况。
方法3:使用矩阵的伪逆。当A不是可逆矩阵时,可以使用矩阵的伪逆求解另一个矩阵。伪逆可以通过奇异值分解(SVD)求得。具体来说,对A进行SVD分解得到U、S、V三个矩阵,其中S是一个对角矩阵,对角线上的元素为A的奇异值的平方根的倒数。然后根据伪逆的定义,伪逆矩阵A+为V*S+*U^T,其中S+为S的伪逆矩阵,即将S中非零元素取倒数,然后转置得到的矩阵。那么另一个矩阵B即为C*A+。
实际应用可以举一个例子,假设有如下矩阵A和结果矩阵C:
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]
C = [10 11 12; 13 14 15; 16 17 18]
方法1:由于矩阵A的行列式为0,所以不能使用逆矩阵法求解。
方法2:将[A|C]进行高斯-约旦消元,得到新的增广矩阵[B|D]为:
B = [-0.3889 0.7778 -0.3889; -0.1667 0.3333 -0.1667; 0.0556 -0.1111 0.0556]
D = [0.2222 0.4444 0.6667; -0.4444 -0.8889 -1.3333; 0.2222 0.4444 0.6667]
因此另一个矩阵B为:
B = [-0.3889 0.7778 -0.3889; -0.1667 0.3333 -0.1667; 0.0556 -0.1111 0.0556]
方法3:对矩阵A进行SVD分解,得到:
U = [-0.231 0.7858 0.4082; -0.5253 0.0868 -0.8165; -0.8196 -0.6121 0.4082]
S = [1.6848 0 0; 0 0.1709 0; 0 0 0]
V = [-0.4797 -0.7767 0.4082; -0.5724 -0.0757 -0.8165; -0.6651 0.6253 0.4082]
因此S+为:
S+ = [0.5922 0 0; 0 5.8535 0; 0 0 0]
那么伪逆矩阵A+为:
A+ = [-0.2525 -0.0525 0.1475; -0.0688 0.0013 0.0713; 0.1150 0.0549 -0.0052]
最终另一个矩阵B为:
B = C*A+ = [-0.3889 0.7778 -0.3889; -0.1667 0.3333 -0.1667; 0.0556 -0.1111 0.0556]