让我们定义dn​为：dn​=pn+1​−pn​，其中pi​是第i个素数。显然有d1​=1，且对于n>1有dn​是偶数。“素数对猜想”认为“存在无穷多对相邻且差为2的素数”。\n\n现给定任意正整数n(<1

### 回答1：
^9)，请编写程序计算出满足条件pn+1−pn=n的最小的素数对(pn,pn+1)。

由于题目中已经给出了dn​是偶数，因此我们只需要在素数序列中找到相邻的两个数，它们的差为n即可。具体实现可以使用筛法求素数，然后遍历素数序列，找到符合条件的素数对即可。

以下是Python代码实现：

def is_prime(n):
if n < 2:
return False
for i in range(2, int(n ** .5) + 1):
if n % i == :
return False
return True

def find_prime_pair(n):
primes = [2]
i = 3
while True:
if is_prime(i):
primes.append(i)
if len(primes) > 1 and primes[-1] - primes[-2] == n:
return (primes[-2], primes[-1])
i += 2

n = int(input())
print(find_prime_pair(n))

### 回答2：
根据题意，我们可以得到dn? = pn1 × pn2 × … × pnn，其中pi是第i个素数。因为素数对猜想认为存在无穷多对相邻且差为2的素数，所以我们可以找到一个较大的n，使得pn+1 - pn = 2。这时，可以观察dn?的因数分解式。

首先，dn?中包含了所有小于等于pn的素数的乘积，因此dn?的所有因数都不会大于pn。其次，由于dn?是偶数，它包含一个2因子。因此，dn?中除了2以外的因子都是奇数，且它们的乘积必须是一个奇数。考虑 dn? / 2，它是一个整数，它的因数分解式仅仅把2的指数减了1。因此，dn? / 2只包含素数p1、p2、p3、…、pn。

如果存在一个dn?的因子是大于pn的素数p，则它一定是一对相邻的素数之一（否则它不能同时大于pn和小于dn? / p）。另一方面，如果存在一对相邻的素数p1和p2（p2 = p1 + 2），则dn? = p1 × p2 × … × pn中，一定有一个因子是p1、p2或者p1 × p2。因此dn?必定有一个大于pn的素因子。

由此可知，若“素数对猜想”成立，则dn?一定有一个大于pn的素因子。这与dn?只由小于等于pn的素数构成相矛盾，因此“素数对猜想”成立。因此，无穷多对相邻且差为2的素数存在。

### 回答3：
首先，根据定义，我们可以得到：
d2? = p1p2 - p1 = p1(p2-1)
d3? = p1p2p3 - p1p2 = p1p2(p3-1)
d4? = p1p2p3p4 - p1p2p3 = p1p2p3(p4-1)
以此类推，可以将dn?表示成p1p2…pn-1(pn-1)，其中pn-1为第n-1个素数。

同时，由于素数对猜想，我们可以找出一对相邻且差为2的素数，记作p和p+2。那么，我们可以将公式dn?表示为：
dn? = p1p2…pn-1(pn-1)
= (p-1)(p+1)p1p2…pn-2
显然，d(n-1)?一定是偶数，因为(p-1)和(p+1)一定有一个是偶数。因此，如果素数对猜想成立，则d(n-1)?必然是n-1以内的一对连续偶数。

而对于n>2的情况，d2?是偶数且不是4的倍数，因此可以表示成2p1和p2-1的乘积，其中p1和p2都是奇素数。因为奇数乘奇数是奇数，所以d2?不可能是2个连续的偶数。因此，如果素数对猜想成立，则d(n-1)?一定是n-1以内的一对连续偶数，而由于d2?不可能是2个连续的偶数，因此d(n-1)?必然是n-2以内的一对连续偶数。

综上所述，如果素数对猜想成立，则dn?一定是n以内的一对连续偶数，其中(dn-1)?是n-2以内的一对连续偶数。因此，我们可以构造一个算法来检验素数对猜想：对于每个n，计算dn?和(dn-1)?是否都是连续偶数，如果是，则素数对猜想成立，否则不成立。当然，由于dn?的增长速度非常快，这个算法的实际运行效率很低，但从理论上说，它是可行的。