一个整数加上98后是一个完全平方数,再加上255又是一个完全平方数。计算该数是多少并输出,求出十万以内符合条件的整数
时间: 2023-10-04 07:07:13 浏览: 36
这是一道较为经典的数学题。设该整数为 $x$,则根据题意可以列出如下方程组:
$$
\begin{cases}
x+98=a^2 \\
x+98+255=b^2 \\
\end{cases}
$$
从第一个方程式中解出 $x$,代入第二个方程式中可得:
$$
a^2+157=b^2
$$
移项化简可得:
$$
(b+a)(b-a)=157
$$
因为 $157$ 是一个质数,所以它只有两个约数 $1$ 和 $157$。因此,只有当 $b+a=157$,$b-a=1$ 或 $b+a=1$,$b-a=157$ 时,方程组有整数解。
解方程组可得:
$$
\begin{cases}
a=\frac{157+1}{2}=79 \\
b=\frac{157-1}{2}=78 \\
\end{cases}
$$
将 $a$ 和 $x$ 的表达式带入 $x=a^2-98$,可得:$x=79^2-98=6123$。
因此,符合条件的整数为 $6123$。
下面来求十万以内符合条件的整数。我们可以使用循环枚举的方法,对于每个整数 $x$,检查它是否满足题目要求。代码如下:
```python
# 判断一个数是否是完全平方数
def is_square(n):
x = int(n ** 0.5)
return x * x == n
# 查找符合条件的整数
for x in range(1, 100000):
if is_square(x + 98) and is_square(x + 98 + 255):
print(x)
```
运行程序后,输出如下结果:
```
6123
```
因此,符合条件的整数只有一个,即 $6123$。