求下列齐次线性方程组的一个基础解系与通解2a+3b+4c-3d-4e=0;a+2b+c-d-3e=0;3a+7b+c-2d-11e=0;;2a+4b+2c-2d-6e=0
时间: 2024-06-07 12:11:07 浏览: 6
我们可以写出增广矩阵:
$$
\left[\begin{matrix}
0 & 2 & 3 & 4 & -3 & -4 \\
1 & 2 & 1 & -1 & -3 & 0 \\
3 & 7 & 1 & -2 & -11 & 0 \\
2 & 4 & 2 & -2 & -6 & 0
\end{matrix}\right]
$$
对其进行初等行变换,化为行简化阶梯形矩阵:
$$
\left[\begin{matrix}
1 & 2 & 1 & -1 & -3 & 0 \\
0 & 1 & \frac{1}{2} & -\frac{5}{2} & -\frac{3}{2} & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{matrix}\right]
$$
可以看出,该方程组的系数矩阵的秩为 $2$,即其解空间的维数为 $5-2=3$。
我们可以取未知量 $b,c,d$ 为自由变量,将其表示为 $b=s,t,c=u,v,d=w$,则有:
$$
\left\{\begin{aligned}
a &= -\frac{1}{2}s + \frac{5}{2}t - \frac{3}{2}u \\
b &= s \\
c &= u \\
d &= w \\
e &= -\frac{1}{2}s + \frac{3}{2}t
\end{aligned}\right.
$$
因此,方程组的一个基础解系为:
$$
\left\{\begin{aligned}
&\boldsymbol{x_1} = \left(-\frac{1}{2}, 1, 0, 0, -\frac{1}{2}\right) \\
&\boldsymbol{x_2} = \left(\frac{5}{2}, 0, 1, 0, \frac{3}{2}\right) \\
&\boldsymbol{x_3} = \left(-\frac{3}{2}, 0, 0, 1, 0\right)
\end{aligned}\right.
$$
而方程组的通解为:
$$
\boldsymbol{x} = s\boldsymbol{x_1} + t\boldsymbol{x_2} + u\boldsymbol{x_3} = \left(-\frac{1}{2}s + \frac{5}{2}t - \frac{3}{2}u, s, u, w, -\frac{1}{2}s + \frac{3}{2}t\right)
$$
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