matlab计算应用四点高斯求积法计算四边形单元的刚度矩阵,弹性模量为210GPa,泊松比为0.25,单位厚度为1cm
时间: 2024-03-27 15:36:28 浏览: 23
好的,我可以帮你解决这个问题。四点高斯求积法主要用于数值积分,可以用于计算四边形单元的刚度矩阵。根据弹性力学理论,四边形单元的刚度矩阵可以用下面的公式来计算:
K = D * B^T * C * B * det(J)
其中,K表示刚度矩阵,D表示弹性矩阵,B表示形函数的导数矩阵,C表示四边形的各向同性刚度系数,J表示雅可比矩阵。
根据四点高斯求积法的原理,可以通过在四边形内部选取4个高斯积分点来进行数值积分。这4个积分点的坐标和权重可以通过查表得到。
具体的计算步骤如下:
1. 定义四个高斯积分点的坐标和权重:
```
x1 = -0.577350269189626;
x2 = 0.577350269189626;
w1 = 1;
w2 = 1;
```
2. 计算形函数的导数矩阵B和雅可比矩阵J:
```
syms xi eta;
N1 = (1-xi)*(1-eta)/4;
N2 = (1+xi)*(1-eta)/4;
N3 = (1+xi)*(1+eta)/4;
N4 = (1-xi)*(1+eta)/4;
N = [N1 0 N2 0 N3 0 N4 0;
0 N1 0 N2 0 N3 0 N4];
B = simplify([diff(N,xi); diff(N,eta)]);
x = [x1 x2 x2 x1];
y = [x1 x1 x2 x2];
J = simplify(B*[x;y]);
```
3. 计算各向同性刚度系数C:
```
E = 210e9; % 弹性模量
v = 0.25; % 泊松比
C11 = E/(1-v^2);
C12 = E*v/(1-v^2);
C = [C11 C12 0;
C12 C11 0;
0 0 (1-v)*E/(2*(1+v))];
```
4. 计算刚度矩阵K:
```
K = zeros(8,8);
for i = 1:4
for j = 1:4
xi = x(i);
eta = y(j);
Jx = double(subs(J(1,1)));
Jy = double(subs(J(2,2)));
detJ = Jx*Jy;
Bx = double(subs(B(1,:)));
By = double(subs(B(2,:)));
Bmat = [Bx(1) 0 Bx(2) 0 Bx(3) 0 Bx(4) 0;
0 By(1) 0 By(2) 0 By(3) 0 By(4)];
Kij = Bmat'*C*Bmat*detJ*w1*w2;
K = K + Kij;
end
end
```
最后得到的K就是四边形单元的刚度矩阵。需要注意的是,这里计算的是单位厚度下的刚度矩阵,如果需要计算其他厚度下的刚度矩阵,需要将计算结果除以单位厚度。