猴子吃桃问题。猴子第一天摘下若干个桃子，当即吃了一半，还不过瘾，又多吃了一个。第二天早上又将剩下的桃子吃掉一半，又多吃了一个。以后每天早上都吃了前一天剩下的一半零一个。到第10天早上再想吃时，见只剩一个桃子。求第一天共摘了多少桃子。

### 回答1：

这是一道经典的数学谜题，被称为“猴子吃桃问题”。

设第一天摘的桃子数为 x，根据题目描述可得：

第一天剩下的桃子数为：x - x/2 - 1 = x/2 - 1
第二天剩下的桃子数为：(x/2 - 1)/2 - 1 = x/4 - 1/2
第三天剩下的桃子数为：(x/4 - 1/2)/2 - 1 = x/8 - 3/4
...
第十天剩下一个桃子，可得：(x/(2^9) - 1) = 1

解方程可得：x = (1 + 1) * 2 * 2 * 2 * ... * 2 = 1534

因此，第一天共摘了 1534 个桃子。

### 回答2：
解题思路：

首先假设第一天摘了x个桃子。猴子第一天摘下的桃子数是x，吃掉一半还多一个，即剩下x / 2 - 1个桃子。第二天猴子又将剩下的桃子吃掉一半零一个，也就是剩下 (x / 2 - 1) / 2 - 1 个桃子，即 (x / 2 ) / 2 - 1 个桃子。以此类推，每天都是前一天的一半减1.

由于猴子到第十天早上只剩下1个桃子，因此我们可以倒着推回去。第九天早上剩余的桃子个数为 [(1+1) x 2] = 4 个，第八天早上剩余的桃子数量是 [(4+1) x 2] = 10 个，第七天早上剩余的桃子数量是 [(10+1) x 2] = 22 个，以此类推。我们可以得到以下表格：

第10天| 第9天 | 第8天 | 第7天 | 第6天 | 第5天 | 第4天 | 第3天 | 第2天 | 第1天
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---
剩余的桃子数|1|4|10|22|46|94|190|382|766

因为第1天剩余的桃子是最后一天吃掉之前的剩余数，因此第1天一共有766个桃子。

综上所述，猴子第一天共摘了766个桃子。

### 回答3：
这是一道经典的数学问题，需要使用逆向思维和数学推理来解决。

我们设第一天摘了x个桃子，那么第一天吃了一半加一个，就剩下了(x-1)/2个桃子。第二天早上，又将剩下的桃子吃掉一半零一个，就剩下了[(x-1)/2-1]/2个桃子。以此类推，到第10天早上，就剩下了1个桃子。

根据推理，可以列出一个递推公式：[(x-1)/2^1-1]/2^1-1 .... [(x-1)/2^9-1]/2^9-1 = 1

将等式两边同时乘以2^10，得到：

(x-1)/2^0 + (x-1)/2^1 + (x-1)/2^2 + ... + (x-1)/2^9 = 2^10

化简得到：

x-1 = 1024

因此，第一天共摘了1025个桃子。

答案：第一天共摘了1025个桃子。