39.y= \frac {2x}{2c-x^{2}}及 y = 0.
时间: 2023-11-01 19:35:39 浏览: 27
根据题目,得到以下方程组:
y = \frac {2x}{2c-x^{2}}
y = 0
将第二个方程代入第一个方程,得到:
0 = \frac {2x}{2c-x^{2}}
移项可得:
2x = 0
因此,x = 0。
将 x = 0 代入第一个方程,得到:
y = \frac {2 \times 0}{2c-0} = 0
因此,方程组的解为 (x, y) = (0, 0)。
相关问题
y' = \int{-\frac{1}{y^3}}dx = \frac{1}{2y^2}+c_1
如题所示,我们有一个常微分方程:y' = -1/y^3
该方程的解法如下:
将 y' 移项,得到 dy/y^3 = -dx
对两边同时积分,得到:
∫dy/y^3 = -∫dx
对左边的积分进行计算,得到:
-1/(2y^2) = -x + C
其中,C 为任意常数。
将 C 改写为 c_1,并移项,得到:
1/(2y^2) = x + c_1
因此,
y = [2c_1/(1- 2xc_1)]^(1/2)
以上即为常微分方程 y' = -1/y^3 的解法。
设平面的方程为 $ax + by + cz + d = 0$,椭圆抛物面的方程为x^2/a^2 +y^2/b^2 =2z,求平面和椭圆抛物面的交线的参数方程
将平面的方程代入椭圆抛物面的方程,得到交线的方程:
$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{(ax + by + d)}{2c} = 0$$
整理后可得到:
$$(b^2+2ac)x^2 + (a^2+2bc)y^2 + 2abcdxy + 2a^2czx + 2b^2czy + c^2d^2 = 0$$
令 $A = b^2+2ac, B = a^2+2bc, C = 2abcd, D = 2a^2cz, E = 2b^2cz, F = c^2d^2$,则交线的方程可以写作:
$$Ax^2 + By^2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0$$
由于该方程是一个二次曲线方程,我们可以通过配方法得到标准式,即:
$$\left(x+\frac{Cy+2BE}{4AE-C^2}\right)^2 + \left(y+\frac{Cx+2AD}{4BE-C^2}\right)^2 = \frac{4AEF-C^2D^2}{(4AE-C^2)(4BE-C^2)}$$
这是一个标准的椭圆方程,其中 $x_0 = -\frac{Cy+2BE}{4AE-C^2}$ 和 $y_0 = -\frac{Cx+2AD}{4BE-C^2}$ 分别为椭圆的中心坐标,$a' = \sqrt{\frac{4AEF-C^2D^2}{(4AE-C^2)(4BE-C^2)}}$ 和 $b' = \sqrt{\frac{4AEF-C^2D^2}{(4BE-C^2)(4AE-C^2)}}$ 分别为椭圆的半轴长。
因此,平面和椭圆抛物面的交线的参数方程为:
$$\begin{cases} x = -\frac{Cy+2BE}{4AE-C^2} + a'\cos t \\ y = -\frac{Cx+2AD}{4BE-C^2} + b'\sin t \\ z = \frac{ax+by+d}{2c} \end{cases}$$
其中 $t$ 为参数,取值范围为 $[0, 2\pi)$。