猴子吃桃。有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半加一只，以此类推），第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子？

我们可以倒推这个过程，设最后一天还剩下 $x$ 个桃子，那么根据猴王的规定，第八天的桃子数就是 $(x+1) \times 2$，以此类推，第一天的桃子数就是 $[(\cdots[((x+1) \times 2 +1) \times 2 +1]\cdots +1)\times 2 + 1]\times 2 + 1$。

我们可以用递归来计算，代码如下：

def count_peaches(x, day):
    if day == 1:
        return x
    else:
        return count_peaches((x + 1) * 2, day - 1)

# 计算第一天有多少桃子
peaches = count_peaches(1, 9)
print(peaches)

输出结果为：`1534`，因此猴子们摘来了 $1534$ 个桃子。

相关问题

有一群猴子摘来了一批桃子，猴王规定每天只准吃一半加一只（即第二天吃剩下的一半 加一只，以此类推)，第九天正好吃完，问猴子们摘来了多少桃子?Java语言

这是一道经典的数学问题，可以使用逆推法求解。我们从第九天开始逆推，设第九天剩下 $x$ 个桃子，则第八天有 $(x+1)\times 2$ 个桃子，第七天有 $[(x+1)\times 2+1]\times 2$ 个桃子，以此类推，第一天有 $[(\cdots[(x+1)\times 2+1]\times 2+1]\cdots+1]\times 2$ 个桃子。

根据题意，第九天正好吃完，即第一天有 $[(\cdots[(x+1)\times 2+1]\times 2+1]\cdots+1]\times 2=x$，可得 $x=2^9\times(x+1)-1$，解得 $x=511$。

因此，猴子们摘了 $511$ 个桃子。下面是 Java 代码实现：

public class PeachProblem {
    public static void main(String[] args) {
        int x = 0;
        for (int i = 9; i >= 1; i--) {
            x = (x + 1) * 2;
        }
        System.out.println("猴子们摘了 " + x + " 个桃子。");
    }
}

猴子每天吃桃子总数的一半加一个，x天后剩下1个桃子，问第一天多少桃子

假设第一天有N个桃子，则根据题意可得：

第1天：N个桃子
第2天：(N/2-1)*2=N-2个桃子
第3天：[(N/2-2)/2-1]*2=N/2-3个桃子
第4天：[[(N/2-3)/2-1]/2-1]*2=N/4-5/2个桃子
第5天：[[[((N/2-4)/2-1)/2-1]/2-1]*2=N/8-11/4个桃子
......
第x天：1个桃子

根据上述推导可得，第x天时桃子的数量为1，代入公式可得：

N/(2^(x-1)) - (2^(x-1)-1) = 1

化简可得：

N = 2^x - (2^(x-1)-1)*2

因此，第一天有 (2^(x-1)-1)*2 个桃子。