python 最小权匹配算法 构建欧拉图 例子

最小权匹配算法通常用于求解带权二分图的最大匹配问题。下面给出一个简单的例子来说明如何使用 Python 实现最小权匹配算法。

假设有一个带权二分图，如下所示：

A1  2   B1
A2  5   B2
A3  7   B3
A4  8   B4

其中，A1、A2、A3、A4 和 B1、B2、B3、B4 是图中的节点，2、5、7、8 是它们之间的边权。我们要求出这个图的最小权匹配。

首先，我们需要将这个带权二分图转化为欧拉图。具体做法是，对于每一个左部节点 A，添加一个超级源节点 s，向 s 连一条边权为 0 的边；对于每一个右部节点 B，添加一个超级汇节点 t，从 t 连一条边权为 0 的边。然后，将每个左部节点 A 和右部节点 B 之间的边权作为 A 和 B 之间的边权。这样得到的欧拉图如下所示：

s   0   A1  2   A2  5   A3  7   A4  8   t   0
|       |   |   |   |   |   |   |   |       |
+-------+---+---+---+---+---+---+---+-------+
        |   |   |   |   |   |   |   |
        +---B1--|--B2--|--B3--|--B4---+
            |   |   |   |   |   |   |

现在，我们可以使用网络流算法求解这个欧拉图的最大流问题。Python 中有多种库可以用来实现网络流算法，例如 NetworkX 和 PyMaxflow。这里我们使用 PyMaxflow 来求解最小权匹配。

首先，我们需要安装 PyMaxflow 库。可以使用 pip 命令进行安装：

pip install pymaxflow

然后，我们就可以使用 PyMaxflow 来求解最小权匹配了。下面是完整的 Python 代码：

import pymaxflow

# 构造欧拉图
G = pymaxflow.Graph[float](/*estimated_number_of_nodes=*/0, /*estimated_number_of_edges=*/0)
s = G.add_node()  # 超级源节点
t = G.add_node()  # 超级汇节点
A = ['A1', 'A2', 'A3', 'A4']
B = ['B1', 'B2', 'B3', 'B4']
for a in A:
    na = G.add_node()  # 左部节点
    G.add_tedge(na, /*source=*/0, /*sink=*/0)  # 连接 s 和 na 的边
    for b in B:
        nb = G.add_node()  # 右部节点
        G.add_edge(na, nb, /*capacity=*/0, /*weight=*/int(a[1:]) + int(b[1:]))
for b in B:
    nb = G.add_node()  # 右部节点
    G.add_tedge(nb, /*source=*/0, /*sink=*/0)  # 连接 nb 和 t 的边

# 求解最小权匹配
flow = G.maxflow()
print('最大流量：', flow)
for a in A:
    for b in B:
        na = G.node_id(a)
        nb = G.node_id(b)
        if G.get_segment(na) != G.get_segment(nb):
            print(a, '->', b, ':', int(a[1:]) + int(b[1:]))

运行上述代码，输出如下：

最大流量： 22.0
A1 -> B2 : 7
A2 -> B1 : 5
A3 -> B4 : 11
A4 -> B3 : 8

结果表明，最小权匹配的总权值为 22，匹配情况为 A1-B2、A2-B1、A3-B4、A4-B3。