解释 $y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]$
时间: 2023-05-30 11:04:53 浏览: 200
这里的式子描述了离散时间系统中的卷积操作。$x[m]$ 是输入信号的离散时间序列,$h[n-m]$ 是系统的冲激响应,$y[n]$ 是输出信号的离散时间序列。卷积操作的物理意义是将输入信号和系统的冲激响应同时作用于系统,得到输出信号。具体来说,对于每个时刻 $n$,输出信号 $y[n]$ 的值是输入信号 $x[m]$ 和冲激响应 $h[n-m]$ 乘积的和。这个和是在时域上从负无穷到正无穷的所有可能的 $m$ 值的乘积和。这个操作可以用离散的方式实现,通常使用计算机程序来计算。
相关问题
离散序列的卷积可以通过以下步骤进行: 确定两个离散序列 $x[n]$ 和 $h[n]$。 翻转其中一个序列,比如翻转 $h[n]$ 得到 $h[-n]$。 对于每个 $n$,将 $h[-n]$ 平移 $n$ 个单位,得到 $h[n-m]$。 将 $x[n]$ 和 $h[n-m]$ 相乘,得到 $y[n]=\sum_{m=-\infty}^{\infty}x[m]h[n-m]$,即卷积结果。 如果需要,可以使用截取法或周期延拓法对卷积结果进行处理,使其满足特定要求。 需要注意的是,在进行卷积时,序列的长度可能会发生变化。为了避免这种情况,可以在序列两端添加零元素,使其长度相同。其中$$的含义
是数学公式的起始和结束标记,用于表示公式的开始和结束。在公式中,可以使用各种数学符号和函数,如加减乘除、指数、对数、三角函数等等。在Latex中,$符号用于表示行内公式,而$$符号用于表示独立一行的公式。
x[n]=(-1)^n,求x[n]的傅里叶变换
首先,我们可以将$x[n]$表示为另一个信号$y[n]$的实部,其中$y[n]=(-1)^n+j\cdot0$,即:
$$
y[n]=(-1)^n+0\cdot j
$$
然后,根据傅里叶变换的定义,$y[n]$的傅里叶变换$Y(\omega)$为:
$$
\begin{aligned}
Y(\omega)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} y[n]\cdot e^{-j\omega n}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n\cdot e^{-j\omega n}+j\cdot0\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} \cos(\omega n)\cdot e^{-j\omega n}+j\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty} \sin(\omega n)\cdot e^{-j\omega n}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(e^{j\omega} \right)^n+\frac{1}{2}\cdot\sum_{n=-\infty}^{\infty} \left(e^{-j\omega} \right)^n\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-e^{j\omega}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-e^{-j\omega}}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{-j\omega}}{1-e^{j\omega}e^{-j\omega}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{j\omega}}{1-e^{-j\omega}e^{j\omega}}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{-j\omega}}{1-e^{-2j\omega}}+\frac{1}{2}\cdot\frac{1-e^{j\omega}}{1-e^{2j\omega}}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{-j\omega/2}-e^{j\omega/2}}{e^{-j\omega}-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2}}{e^{j\omega}-1}\\
\end{aligned}
$$
化简可得:
$$
\begin{aligned}
Y(\omega)&=\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{-j\omega/2}-e^{j\omega/2}}{e^{-j\omega}-1}+\frac{1}{2}\cdot\frac{e^{j\omega/2}-e^{-j\omega/2}}{e^{j\omega}-1}\\
&=\frac{1}{2}\cdot\frac{-j\cdot2\sin(\omega/2)}{-2j\sin(\omega/2)}\\
&=-j\cdot\frac{\sin(\omega/2)}{\sin(\omega)}\\
\end{aligned}
$$
因此,$x[n]=(-1)^n$的傅里叶变换为:
$$
X(\omega)=\mathcal{F}\{x[n]\}=-j\cdot\frac{\sin(\omega/2)}{\sin(\omega)}
$$