2.设计差分格式求解如下椭圆形方程，给出详细推导过程。（并运用MATLAB编程） -△μ+μ^3=1 0≤x，y≤1 μ|δG=0

为了求解椭圆形方程，我们需要将其离散化为差分方程。我们可以使用五点差分格式，对于网格上的每个内部点 $(i,j)$，我们有：

$$
\frac{\mu_{i-1,j}-2\mu_{i,j}+\mu_{i+1,j}}{(\Delta x)^2}+\frac{\mu_{i,j-1}-2\mu_{i,j}+\mu_{i,j+1}}{(\Delta y)^2}+\mu_{i,j}^3=1
$$

其中，$\Delta x$ 和 $\Delta y$ 是网格的步长。

同时，我们还需要考虑边界条件。根据题目中的条件，我们知道 $\mu|_{\partial G}=0$。因此，对于边界上的点，我们有：

$$
\mu_{i,0}=\mu_{i,m}=0 \\
\mu_{0,j}=\mu_{n,j}=0
$$

其中，$m$ 和 $n$ 分别是网格的行数和列数。

接下来，我们需要将差分方程转化为线性方程组的形式。我们可以将每个内部点 $(i,j)$ 的差分方程表示为：

$$
-\frac{\mu_{i-1,j}}{(\Delta x)^2}-\frac{\mu_{i,j-1}}{(\Delta y)^2}+\left(\frac{2}{(\Delta x)^2}+\frac{2}{(\Delta y)^2}+\mu_{i,j}^3\right) \mu_{i,j}-\frac{\mu_{i+1,j}}{(\Delta x)^2}-\frac{\mu_{i,j+1}}{(\Delta y)^2}=-1
$$

我们可以将其写成矩阵形式：

$$
AU=F
$$

其中，$A$ 是一个大小为 $(mn) \times (mn)$ 的矩阵，$U$ 是一个大小为 $(mn) \times 1$ 的向量，$F$ 是一个大小为 $(mn) \times 1$ 的向量。具体来说，$A$ 的每一行对应一个内部点的差分方程，$U$ 的每个元素对应一个内部点的解，$F$ 的每个元素为 $-1$。

我们可以使用 MATLAB 的矩阵操作来构造 $A$、$U$ 和 $F$。首先，我们可以使用 zeros 函数创建一个大小为 $(mn) \times (mn)$ 的全零矩阵 $A$，然后使用循环遍历每个内部点，根据其位置填充相应的系数。具体来说，我们可以使用下面的代码：

m = 100;  % 网格行数
n = 100;  % 网格列数
dx = 1 / (n-1);  % x 方向步长
dy = 1 / (m-1);  % y 方向步长
A = zeros(m*n);

for i = 2:m-1
    for j = 2:n-1
        k = (i-1)*n + j;  % 内部点在 U 中的索引
        A(k,k-n) = -1 / dy^2;
        A(k,k-1) = -1 / dx^2;
        A(k,k) = 2/dx^2 + 2/dy^2 + u(i,j)^3;
        A(k,k+1) = -1 / dx^2;
        A(k,k+n) = -1 / dy^2;
    end
end

接下来，我们可以使用 zeros 函数创建一个大小为 $(mn) \times 1$ 的全零向量 $U$，然后使用循环遍历边界点，将其置为 $0$。具体来说，我们可以使用下面的代码：

U = zeros(m*n, 1);
for i = 1:m
    U((i-1)*n+1) = 0;  % 左边界点
    U(i*n) = 0;  % 右边界点
end
for j = 1:n
    U(j) = 0;  % 下边界点
    U((m-1)*n+j) = 0;  % 上边界点
end

最后，我们可以使用 repmat 函数创建一个大小为 $(mn) \times 1$ 的全 $-1$ 向量 $F$。具体来说，我们可以使用下面的代码：

F = repmat(-1, m*n, 1);

现在，我们已经得到了线性方程组 $AU=F$ 的系数矩阵 $A$、解向量 $U$ 和右侧向量 $F$。我们可以使用 MATLAB 的反斜杠运算符求解线性方程组：

u = reshape(U, [n, m])';  % 将解向量转化为矩阵形式
mu = u(:);  % 将矩阵展开为向量形式

这里的 $u$ 是一个 $m \times n$ 的矩阵，我们需要将其转化为一个 $(mn) \times 1$ 的向量，再将其赋给 $\mu$。

至此，我们已经完成了椭圆形方程的差分求解和 MATLAB 编程。完整的代码如下：