差分格式求解椭圆形方程

求解椭圆形方程的差分格式可以采用有限差分方法，其中最常用的是五点差分格式。假设要求解的椭圆形方程为：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = f(x,y)$$

其中 $u(x,y)$ 是解函数，$f(x,y)$ 是已知函数。将求解区域网格化，假设网格节点为 $(x_i,y_j)$，网格间距为 $h$，则有：

$$u_{i,j} = u(x_i,y_j)$$

五点差分格式的公式如下：

$$\frac{u_{i+1,j} - 2u_{i,j} + u_{i-1,j}}{h^2} + \frac{u_{i,j+1} - 2u_{i,j} + u_{i,j-1}}{h^2} = f_{i,j}$$

其中 $f_{i,j}$ 表示在 $(x_i,y_j)$ 处的已知函数值。

通过对所有节点应用五点差分格式，可以得到一个线性方程组，通过求解该方程组即可得到解 $u_{i,j}$ 。常用的求解方法有迭代法和直接法，如 Jacobi 法、Gauss-Seidel 法、SOR 法等。