为什么e^(i((n+8)/8-π)) = e^(i(n/8-π+1))
时间: 2024-03-30 22:38:49 浏览: 15
非常抱歉,我的回答有误。正确的式子应该是:
e^(i((n+8)/8-π)) = e^(i(n/8-π+1))
这个式子的推导如下:
e^(i((n+8)/8-π)) = e^(i(n/8+1-π)) = e^(i(n/8-π)) * e^(i*1)
其中,e^(i(n/8-π))是序列x2(n)在n的取值为n/8-π时的值,e^(i*1)是序列在n的取值增加8(即n+8)后的值与n的取值相等时的比值。因此,序列的周期最小为8,即序列x2(n)的周期为8。非常感谢您的指正。
相关问题
,x2(n)=e^i(n/8-π)的周期是多少
对于序列x2(n)=e^(i(n/8-π)),周期的计算方法与x1(n)不同。可以通过将序列中的指数项表示成2π的整数倍加上一个余数的形式,然后解方程来计算周期。
具体地,设序列x2(n)的周期为N,则有:
e^(i(n/8-π)) = e^(i((n+N)/8-π))
两边同时取模长,可得:
|e^(i(n/8-π))| = |e^(i((n+N)/8-π))|
即:
1 = |e^(iN/8)|
因为|e^(iN/8)|=1,所以N必须是8的整数倍才能满足上式。因此,序列x2(n)的周期为8的整数倍,即N=8k,其中k为正整数。
同时,我们观察原式x2(n)=e^(i(n/8-π)),可以发现当n=8时,指数的实部为1,虚部为0,此时序列的值为1。因此,序列x2(n)的周期最小为8。综上所述,序列x2(n)的周期为8的整数倍,即N=8k,其中k为正整数。
输出表达式的值:1/1!-1/3!+1/51-1/7!+..+(-1)n+1/(2n-1)!
这是一个交替级数,可以使用莫泰卡罗(Maclaurin)级数来计算。莫泰卡罗级数公式如下:
e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + ...
将 x = iπ/2,得到:
e^(iπ/2) = 1 + iπ/2/1! - (π/2)^2/2! - iπ^3/2/3! + ...
将 x = -iπ/2,得到:
e^(-iπ/2) = 1 - iπ/2/1! - (π/2)^2/2! + iπ^3/2/3! - ...
将上面两个式子相加,可得:
e^(iπ/2) + e^(-iπ/2) = 2(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 2i
将上面两个式子相减,可得:
e^(iπ/2) - e^(-iπ/2) = 2i sin(π/2) = 2i
因此,我们可以得出:
e^(iπ/2) = i
将 i 替换成 1,得到:
e^(π/2) = i
将这个结果带入原式,得到:
1/1! - i/3! + 1/5! - i/7! + ... + (-1)^(n+1)/(2n-1)! = Re(e^(iπ/2)) = Re(i) = 0
因此,原式的值为 0。
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